Compléments à l’article

LES DISCRIMINANTS QUADRATIQUES ET LA CONGRUENCE DE STICKELBERGER

1. The submitted paper contained a fifth section devoted to the comparison between Fröhlich’s idelic discriminants and the usual notion. This unpublished part can be read below.

2. The results of the main paper have been improved by Georges Gras ; see Stickelbergers congruences for absolute norms of relative discriminants, J. Th. Nombres Bordeaux 22,2 (2010), 397–402.

N.B. Les notations et les références sont celles de “Les discriminants quadratiques et la congruence de Stickelberger”.

5. Remarques sur le discriminant idélique. On reprend les notations du paragraphe 2. Le discriminant 𝔡_{T} (M) est par définition déterminé par les discriminants locaux d_{𝔭} ∈ K^{∗}/A_{𝔭}^{∗2}. Ces discriminants locaux déterminent également d_{T} (V) sauf dans le cas trivial où A = K. Réciproquement, les données de 𝔡_{T} (M) et de d_{T} (V) déterminent les d_{𝔭} . En effet, choisissons une uniformisante π de A en 𝔭, et écrivons d_{𝔭} = π^{x} . u, avec x ∈ ℤ et u ∈ A_{𝔭}^{∗} . On a x = v_{𝔭} (𝔡), et la classe de u, égale à π^{−x} . d_{L/K} mod K^{∗2} est bien définie modulo A_{𝔭}^{∗} ∩ K^{∗2} = A_{𝔭}^{∗2}.

Pour définir un discriminant idélique, on considère un ensemble S = S_{f} ∪S_{∞} de places de K, où S_{f} est l’ensemble des places (finies) associées aux idéaux premiers non nuls de A et S_{∞} est un ensemble fini de plongements de K dans ℝ ou ℂ. Pour tout v ∈ S, la forme bilinéaire T se prolonge en une forme T_{v} sur le complété V_{v} = K_{v} ⊗ V de V, ce qui permet de définir le discriminant d_{T_{v}}(V_{v}) ∈ K_{v}^{∗}/K_{v}^{∗2}, que nous notons d′_{v} lorsque v ∈ S_{∞}. Lorsque v est une place finie, dont nous notons 𝔒_{v} l’anneau de valuation, on note d′_{v} le discriminant d_{T_{v}}(𝔒_{v} ⊗_{A} M) ∈ K_{v}^{∗}/𝔒_{v}^{∗2}. Dans le cas d’une extension (ou d’une algèbre étale) L/K, ce discriminant n’est autre que celui de la K_{v}- algèbre étale L_{v} = K_{v} ⊗ L que l’on obtient en complétant L à la place v de K.

Pour tout v ∈ S, le groupe U_{v} des unités locales est défini par U_{v} = 𝔒_{v}^{∗} si v ∈ S_{f}, U_{v} = K_{v}^{∗+} si v est réelle, et U_{v} = K_{v}^{∗} si v est complexe ; on a donc U_{v} = K_{v}^{∗2} pour tout v ∈ S_{∞}. Par définition, le groupe J_{K} des idèles de K (pour le choix que nous avons fait de S) est le produit direct restreint des groupes K_{v}^{∗} par rapport à leurs sous-groupes U_{v}. Les éléments du sous-groupe U_{K} = ∏_{v} U_{v} de J_{K} sont les idèles unités de K. Lorsque K est un corps global (corps de nombres ou corps de fonctions sur un corps fini), on convient de prendre pour S l’ensemble de toutes les places de K. Comme d′_{v} est dans U_{v} pour presque tout v, la famille (d′_{v}) définit un élément δ ∈ J_{K}/U_{K}^{2} : c’est le discriminant idélique introduit par Fröhlich ([2], [3]). Notons qu’il appartient au sous-groupe K^{∗} J_{K}^{2}/U_{K}^{2} du groupe précédent : c’est clair si M est libre sur A, et le cas général se ramène à ce cas particulier en comparant les discriminants d′_{v} associés à M d’une part et à un module libre d’autre part.

Dans le cas où K est un corps global, la donnée du discriminant idélique est équivalente à la donnée du couple (𝔡_{T} (M) , d_{T} (V)). En effet, sans hypothèse sur K, le couple (𝔡_{T} (M) , d_{T} (V)) détermine d_{𝔭} pour tout idéal premier non nul de K, donc aussi d′_{v} pour pour tout v ∈ S_{f} puisque d′_{v} est alors l’image dans K_{v}^{∗}/𝔒_{v}^{∗2} du discriminant d_{𝔭} correspondant, et, pour v ∈ S_{∞}, d′_{v} est évidemment l’image dans K_{v}/K_{v}^{∗2} de d_{T} (V). Réciproquement, supposons que nous connaissions le discriminant idélique δ ∈ J_{K}/U_{K}^{2}. Pour tout v ∈ S, nous connaissons d′_{v}. L’ensemble des valuations des d′_{v} pour v ∈ S_{f} détermine évidemment le discriminant idéal 𝔡_{T} (M). Il reste à voir que d_{T} (M) ∈ K^{∗}/K^{∗2} est également déterminé par les d′_{v}. Cela résulte tout de suite du théorème de Hasse-Minkowski : un élément de K^{∗} qui est un carré localement partout est effectivement un carré.