\\ First draft: August 24th, 2004 UPDATED April 30th, 2010 \\ Gram matrices of Z22... modified on February 7th, 2012 \\ Complements, notably on eutaxy : July 14th, 2021 \\ Last update: Octobber 1st, 2023 \\ \\ =========================================================================== \\ LATTICES INSIDE the UNIMODULAR LATTICES O_{23} and O_{24} \\ =========================================================================== \\ Calculations achieved with the PARI package with the help of programs \\ written by Christian BATUT and Bill ALLOMBERT \\ Notation. WEUT = weakly eutactic, SEMEUT = semi-eutactic, EUT = Eutactic, \\ STREUT = strongly eutactic. \\ A Kneser neibour of Leech's Lamda_24 alias L24 for a vector of norm 4 \\ (resp. of norm 12, not congruent mod 2 to a norm-4 vector) \\ is of the forme $O_{23}\perp Z (resp. O_{24)} \\ denoted by OO23 and OO24 oe OQ24. Then the notation OO{n} and OQ{n} \\ is used for some of their suublattices. \\ \\ CONTENT. 1. Antilaminations of O_{23} alias OO23 \\ 2. Antilaminations of O'_{21} alias Op21 (see NOTE below) \\ 3. Some more lattices contained in O_{23} \\ 4. Some lattices contained in O_{24} alias OQ24 \\ 5. Varia. Some more lattices of minimum 3 \\ \\ NOTE. The first three determinants of 2-dimensional sections of OO23 \\ are 8, 9, 11, one orbit each, represented by matrices equivalent to \\ [3,1;1,3], [3,0;0,3] and [3,1;1,4], respectively. \\ Next there are 2 orbits of determinant 12, represented by matrices \\ equivalent to [3,0;0,4 and [4,2;2,4]. \\ OO21 in PART 1 is orthogonal to a matrix of type [3,1;1,3] in OO23^*. \\ Op21 in PART 2 is orthogonal to a matrix of type [3,0;0,3] in OO23^*. \\ Oq22 in PART 3 is orthogonal to a vector of norm 4 in OO23^*. \\ \\ =========================================================================== \\ PART 1 : Antilaminations in dimensions 23 to 8 \\ =========================================================================== \\ \\ OO23 : [1,[2300,3],[2300,3],[1^23]]; OO23^*=OO23; 1 orbit on S(OO23^*); \\ |AUT| = 84610842624000 = 2^19.3^6.5^3.7.11.23 (AUT = 2 X CO_2); \\ s3=2300; s4=46575; s5=476928; s6=3238400; s7=16394400; \\ STRONGLY PERFECT lattice (even 7-design) ===> EXTREME and STREUT \\ OO23_even=Lambda_{23}=L23 in Lambda.gp, 1st PART) OO23=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1,1,0,1,0,0;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,1,0,0;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1,0,-1,0,0;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1,1,0,1,0,0;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0,0,0,-1,-1,0;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1,0,0,0,0,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0,-1,-1,-1,0,0;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3,0,0,1,1,0;1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,3,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,3,0,1,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,1,0,3,1,-1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,1,3,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,3]; \\ \\ Suppress the last vector of OO23 ; OO22_even=Lambda_{22} ; \\ OO22:[3,[1408,3],[891,8],[3^1,1^21]]; |AUT| = 36787322880 = 2^17.3^6.5.7.11 \\ 1 orbit on S(OO22) and on S(OO22^*); \\ OO22 and OO22^* STRONGLY PERFECT ===> EXTREME and STREUT \\ s3=1408; s4= 24948; s5=228096; s6=1410816; s7=6614784; s8=25166295 \\ s8*=891; s9*=1408; s10*=0;s11*=20736; s12*=24948; s13*=0; s14*=228096; \\ s15*=228096; s16*=0; s17*=1596672; s18*=1410816;s19*=0 \\ [OO22_even=Lambda_22=L22 in Lambda.gp, 1st PART] OO22=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1,1,0,1,0;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,0,0;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,1,0;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,-1,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1,0,-1,0;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0,0,1,-1,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1,1,0,1,0;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0,0,0,-1,-1;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1,0,0,0,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0,-1,-1,-1,0;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3,0,0,1,1;1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,3,1,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,3,0,1;1,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,1,0,3,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,1,3]; \\ \\ Suppress the last vector of OO22 \\ OO21 : [8,[896,3],[21,16],[8^1,1^20]] ; |AUT| = 82575360 = 2^18.3^2.5.7 \\ OO21 EXTREME ; OO21 and OO21^* STREUT and DUAL-EXTREME \\ 1 orbit on S and on S^* ; S^* ~ S(Z^{21}) \\ s3=896; s4=13860; s5=112896; s6=636160; s7=2765568; s8=9853725; \\ [OO21_even=Lambda_{21}=L21 in Lambda.gp, 1st PART] ; \\ OO21 = orth in OO23 of a [3,1;1,3] matrix \\ !! SET O'_{21}=Op21= orth of [3,0;0,3] ; see PART 2 !! OO21=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1,1,0,1;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,0;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,1;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,-1;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1,0,-1;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1,1,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0,0,1,-1;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1,1,0,1;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0,0,0,-1;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1,0,0,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0,-1,-1,-1;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3,0,0,1;1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,3,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,3,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,1,0,3]; \\ \\ Suppress the last vector of OO21 \\ OO20 : [16,[640,3],[60,8],[4^2,1^18]] |AUT| = 23592960 = 2^19.3^2.5 \\ 1 orbit on S and on S^* ; 3 orbits on S(OO20_even), though \\ S(OO20^*)=S(OO20_even)^* ; \\ OO20 EXTREME ; OO20 and OO20^* STREUT \\ s3=640; s4=8700; s5=62976; s6=322560; s7=1301760; s8=4349820; \\ [OO20_even=Lambda_{20}=L20 in Lambda.gp, 1st PART] OO20=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1,1,0;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1,0;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1,1;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0,0,1;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1,1,0;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0,0,0;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1,0,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0,-1,-1;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3,0,0;1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,3,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,3]; \\ \\ Suppress the last vector of OO20 \\ OO19 : [32,[448,3],[4,12],[8^1,2^2,1^16]] |AUT| = 1179648 = 2^17.3^2 \\ 2 orbits (256+192) on S, 1 orbit on S^* ; OO19 EXTREME \\ S(OO19^*)=S(OO19_even^*) ~ S(A_3^*) \\ s3=448; s4=5334;s5=34176;s6=158976;s7=597120;s8=1873715; \\ [OO19_even=Lambda_{19}=L19 in Lambda.gp, 1st PART] OO19=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1,1;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1,0;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1,1;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0,0;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0,-1;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3,0;1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,3]; \\ \\ Suppress the last vector of OO19 \\ OO18 : [48,[352,3],[3,8],[6^1,2^3,1^14]] |AUT| = 4423680 = 2^15.3^3.5 \\ 2 orbits (256+96) on S, 1 orbit on S^* ; S^*=S(OO20_even^*) ~ S(A_2) \\ OO18 EXTREME OO18=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1,1;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,-1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,1;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0,1;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,1;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1,0;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0,-1;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3,0;1,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,3]; \\ [OO18_even=Lambda_{18}=L18 in Lambda.gp, 1st PART] \\ \\ Suppress the last vector of OO18 \\ OO17 : [64,[288,3],[1,4],[4^1,2^4,1^12]] |AUT| = 23592960 = 2^19.3^2.5 \\ 2 orbits (256+32) on S, 1 orbit on S^* OO17 EXTREME \\ [OO17_even=Lambda_{17}] \\ obviously 1 orbit on S(O17^*) (similar to S(Z)) OO17=[3,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-1;1,3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1;1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,-1,3,1,1,0,1,1,1,1,-1,1,1,0,0;-1,-1,-1,-1,1,3,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0;-1,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,1;-1,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,0,1,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,3,1,1,0,0,0,0,-1;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,-1,1,3,0,0,1,1,0,0;0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,0,3,0,1,-1,0,0;1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-1,0;0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,1;-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,3,0;-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,3]; \\ [OO17_even=Lambda_{17}=L17 in Lambda.gp, 1st PART] \\ \\ OO16 = orth in OO17 of the vector [-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0] \\ OO16 : [64,[256,3],[1008,4],[2^6,1^10]] |AUT| = 743178240 = 2^18.3^4.5.7 \\ 1 orbit on S and on S^* ; OO16 and OO16^* STRONGLY PERFECT \\ [OO16_even=Lambda_{16}=L16 in Lambda.gp, 1st PART] OO16=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,-2,1,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-2,1,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,-2,1,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,-1,1,1,0,2,-1,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,0,0,1,0,2,-1,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,-1,0;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,0,-1,0,-1,0;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,0,1,1,0,2,-1,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,-1,0;0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,0,-2,1,0;-1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,0,0;-1,-1,0,1,1,0,0,1,-1,0,0,3,1,2,-1,-1;0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,3,2,-1,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,-2,0,2,2,8,-4,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,0,-1,-1,-4,4,2;1,1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,-4,2,4]; \\ \\ Suppress the last vector of OO16 \\ OO15 : [128,[160,3],[60,12],[8^1,2^4,1^10]] |AUT| = 737280 = 2^14.3^2.5 \\ 1 orbit on S and on S^* \\ OO15 and OO15^* STREUT ; OO15 NON-perfect [perf(a)=dualperf(a)=115] \\ [OO15_even=Lambda_{15}=L15 in Lambda.gp, 1st PART] \\ OO15=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,-1,1,1,0,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,0,0,1,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,-1,0,0,0,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,0,-1,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,0,1,1,0,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,1,-1,0,0,-1;0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,0,-2,1;-1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0,0;-1,-1,0,1,1,0,0,1,-1,0,0,3,1,2,-1;0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,3,2,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,-2,0,2,2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,0,-1,-1,-4,4]; \\ \\ Suppress the 13th vector of OO15 \\ OO14 : [192,[112,3],[27,16],[12^1,4^1,2^2,1^10]] |AUT| = 36864 = 2^12.3^2 \\ 2 orbits (64+48) on S, 2 orbits (24+3) on S^* OO14 STREUT OO14^* WEUT \\ [perf(OO14)=94, dualperf(OO14)=96, perf(OO14^*)=27] \\ [OO14_even=Lambda_{14}=L14 in Lambda.gp, 1st PART] \\ OO14=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,0,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,-1,1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,0,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,-1,0,0,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,0,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,0,1,1,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,1,-1,0,-1;0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,0,-2,1;-1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,3,0,0,0;-1,-1,0,1,1,0,0,1,-1,0,0,3,2,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,-2,0,2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,0,-1,-4,4]; \\ \\ OO13a = orth in OO14 of the vector [0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,1] \\ (24 / 27 vectors in the orbit) \\ OO13a : [256,[80,3],[1,16],[16^1,4^2,1^10]] |AUT| = 6144 = 2^11.3 \\ 2 orbits on S (64+16), \\ NON-perfect (perf=74<91), NON-weakly eutactic \\ [OO13a_even=Lambda_{13}^{min}=L13min in Lambda.gp, 1st PART]; \\ OO13b : suppress the 11th vector of OO14 (3 / 27 vectors in the orbit) \\ [256,[80,3],[5,4],[4^3,2^2,1^8]] |AUT| = 98304 = 2^15.3 \\ 2 orbits (64+16) on S, 2 orbits (4+1) on S^* ; S^* ~ S(Z^5) \\ NON-perfect (perf=70<91), NON-weakly eutactic \\ [OO13b_even=Lambda_{13}^{max}=L13max in Lambda.gp, 1st PART] OO13a=[3,-1,1,-1,-1,-1,0,0,-1,-2,0,-1,1;-1,3,-1,-1,-1,-1,0,1,-1,-2,0,0,1;1,-1,3,-1,-1,0,-1,0,0,-2,0,-1,0;-1,-1,-1,3,1,1,1,-1,1,2,0,2,0;-1,-1,-1,1,3,1,0,0,1,2,0,0,-1;-1,-1,0,1,1,3,0,0,1,2,2,0,-2;0,0,-1,1,0,0,3,0,-1,0,0,2,0;0,1,0,-1,0,0,0,3,0,-2,1,-1,0;-1,-1,0,1,1,1,-1,0,3,2,0,0,-1;-2,-2,-2,2,2,2,0,-2,2,8,0,0,-4;0,0,0,0,0,2,0,1,0,0,4,-2,-2;-1,0,-1,2,0,0,2,-1,0,0,-2,6,2;1,1,0,0,-1,-2,0,0,-1,-4,-2,2,5]; OO13b=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,-1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,-1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,-1,0,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,-1,0,-1;0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,0,-2,1;-1,-1,0,1,1,0,0,1,-1,0,3,2,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,-2,2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,-1,-4,4]; \\ \\ The unique densest section of OO13a is isometric to the section \\ denoted below by OO12a of OO13b \\ Suppress the 8th vector of OO13b (4 / 5 vectors in the orbit) \\ \\ OO12a : [256,[64,3],[4,4],[4^4,1^8]] |AUT| = 49152 = 2^14.3 \\ 1 orbit on S, 1 orbit on S^* ; S^* ~ S(Z^4) \\ STREUT, NON-perfect (perf=58<78) \\ [OO12a_even=Lambda_{12}^{mid}=12mid in Lambda.gp, 1st PART] \\ Suppress the 10th vector of OO13b (1 / 5 vectors in the orbit) \\ OO12b : [256,[64,3[,[12,4],[4^2,2^4,1^6]] |AUT| = 2359296 = 2^18.3^2 \\ 1 orbit on S and on S^* \\ OO12b NON-perfect (perf=58<78) ; OO12b and OO12b^* STREUT \\ [OO12b_even=Lambda_{12}^{max}=L12max in Lambda.gp, 1st PART] OO12a=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,-1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,-1,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,0,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,0,-1;0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,3,-2,1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,-2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,-4,4]; OO12b=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,0,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,-1,0,-1;-1,-1,0,1,1,0,0,1,-1,3,2,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-4,4]; \\ \\ The sections orthogonal to minimal vectors of $OO12a^* \\ and of OO12b^* are isometric. Hence, there is only ONE 11-dimensional \\ lattice to consider \\ OO11 : [256,[48,3],[11,4],[4^3,2^2,1^6]] |AUT| = 98304 = 2^15.3 \\ 1 orbit on S, 2 orbits (8+3) on S^* [perf=45, dualperf=47] \\ NON-weakly eutactic ; S(OO11^*) ~ S(Z^{11}) \\ [OO11_even=Lambda_{11}^{max}=L11max in Lambda.gp, 1st PART] OO11=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-1,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,1,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,1,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,0,2,-1;0,0,-1,1,0,1,1,0,3,0,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,0,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-4,4]; \\ \\ Suppress the 9th vector of OO11 (8 / 11 vectors in the orbit) \\ OO10a : [256,[36,3],[34,4],[4^4,1^6]] |AUT| = 12288 = 2^12.3 \\ 2 orbits (24+12) on S, 4 orbits (24+6+3+1) on S^* \\ [perf(OO10a)=3, perf(OO10a^*)=28, dualperf(OO10a)=40] \\ OO10a NON-weakly eutactic, OO10a^* EUTACTIC \\ [OO10a_even is the Plesken-Pohst lattice L10b in Lambda.gp, 2nd PART] \\ The 4 orbits on OO10a^* can be defined by \\ va1 = [0,0,0,0,0,-1,0,1,0,1]~, va2 = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,1]~, \\ va3 = [1,1,0,-1,-1,0,0,-1,-2,1]~, va4 = [0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0]~. \\ Suppress the 8th vector of OO11 (3 / 11 vectors in the orbit) \\ OO10b : [256,[32,3],[26,4],[4^2,2^4,1^4]] |AUT| = 589824 = 2^16.3^2 \\ 1 orbit on S, 2 orbits (24+2) on S^* \\ OO10b NON-weakly eutactic, OO10b^* EUTACTIC \\ [perf(OO10b)=31, perf(OO10b^*)22, dualperf(OO10b)=38] \\ vb1 = [0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1] and vb2 = [0,0,-1,1,0,1,1,1,0,0] \\ OO10b_even : [1024,[154,4],[2,2],[4^2.2^6.1^2]] |AUT| =70*AUT(OO10b) \\ OO10b_even = (EXTREME Barnes's D_{{10},8}) OO10a=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,-1,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,0,-1;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,2,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-4,4]; OO10b=[3,-1,1,-1,-1,0,0,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,0,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,-1,-2,1;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,2,-1;-1,-1,-1,1,3,0,0,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,1,0,-1;0,0,-1,1,0,1,3,1,0,-1;0,0,-1,1,0,1,1,3,0,-1;-2,-2,-2,2,2,0,0,0,8,-4;1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-4,4]; \\ \\ \\ The 4+2 preceeding orbits define 4+2 sections of OO10a, oO10b, \\ denoted by OO9a1, OO9a2, OO9a3, OO9a4, OO9b1, OO9b2, all NON-perfect \\ We do not keep OO9a4, which is isometric to OO9b1 \\ OO9a1 : [256,[26,3],[4,12],[16^1,4^2,1^6]] perf = 26 |AUT| = 512 = 2^9 \\ OO9a2 : [256,[28,3],[8,3],[4^4,1^5]] perf = 28 |AUT| = 6144 = 2^11.3 \\ OO9a3 : [256,[24,3],[81,4],[4^4,1^5]] perf = 23 |AUT| = 36864 = 2^12.3^2 \\ OO9a1_even: EXTREME with s=82 (Barnes) \\ OO9a2_even ~ OO9a3_even ~ OO9a3^* is THE 9-dimensional lattice L81c with \\ index system of typd (4,4) of [K-M-S]=Keller-Martinet-Sch\"urmann; \\ L81c EXTREME, L81c and L81c^* STREUT \\ OO9b1 : [256,[24,3],[4,3],[4^3,2^2,1^4]] |AUT| = 2^12.3 \\ S(OO9b1^*)~S(A_3^*) perf(OO9b1)=24, dualperf(OO9b1)=26 \\ OO9b2 : [256,[16,3],[57,4],[4^1,2^6,1^2]] AUT| = 10321920 = 2^15.3^2.5.7 \\ perf(OO9b2)=16, perf(OO9b2^*)=37, dualperf(OO9b2)=45 OO9b2^* EUT \\ However, OO9b2 IS NOT dual-extreme \\ (no nonzero relation of dualeutaxy with non-negative coefficients) ) \\ The symmetry between determinants disappears : 256 instead of 192 for OO14 OO9a1=[3,-1,1,-1,-1,0,-2,-1,1;-1,3,-1,-1,-1,0,-2,-1,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-2,-1,0;-1,-1,-1,3,1,1,2,2,0;-1,-1,-1,1,3,0,2,1,-1;0,0,-1,1,0,3,0,2,0;-2,-2,-2,2,2,0,8,2,-4;-1,-1,-1,2,1,2,2,4,0;1,1,0,0,-1,0,-4,0,5]; OO9a2=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-1,-2;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,-2;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,-2;-1,-1,-1,3,1,1,1,1,2;-1,-1,-1,1,3,0,0,1,2;0,0,-1,1,0,3,1,-1,0;0,0,-1,1,0,1,3,1,0;-1,-1,0,1,1,-1,1,3,2;-2,-2,-2,2,2,0,0,2,8]; OO9a3=[3,-1,-1,-2,0,0,1,0,0;-1,3,1,0,1,0,-1,-1,-1;-1,1,3,0,1,0,1,-1,-1;-2,0,0,8,-4,-4,-4,4,-4;0,1,1,-4,4,2,2,-2,0;0,0,0,-4,2,4,2,-2,2;1,-1,1,-4,2,2,4,-2,2;0,-1,-1,4,-2,-2,-2,5,-4;0,-1,-1,-4,0,2,2,-4,8]; \\ OO9a4=[3,-1,1,-1,-1,-2,1,0,-1;-1,3,-1,-1,-1,-2,1,0,-1;1,-1,3,-1,-1,-2,1,-2,-1;-1,-1,-1,3,1,2,-1,2,2;-1,-1,-1,1,3,2,-1,0,1;-2,-2,-2,2,2,8,-4,0,2;1,1,1,-1,-1,-4,4,-2,-2;0,0,-2,2,0,0,-2,8,4;-1,-1,-1,2,1,2,-2,4,4]; OO9b1=[3,-1,1,-1,-1,0,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,0,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-1,-2,0;-1,-1,-1,3,1,1,1,2,0;-1,-1,-1,1,3,0,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,1,0,0;0,0,-1,1,0,1,3,0,0;-2,-2,-2,2,2,0,0,8,-4;1,1,0,0,-1,0,0,-4,5]; OO9b2=[3,-1,-1,-2,1,0,1,1,1;-1,3,-1,-2,1,-2,-1,-1,-1;-1,-1,3,2,-1,0,-1,-1,-1;-2,-2,2,8,-4,0,-2,-2,-2;1,1,-1,-4,4,0,0,0,0;0,-2,0,0,0,4,2,2,2;1,-1,-1,-2,0,2,4,2,2;1,-1,-1,-2,0,2,2,4,2;1,-1,-1,-2,0,2,2,2,4]; \\ \\ S(OO9b2) spans a sublattice of index2; Below a Gram matrix for it: OO9b2m=[3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1;-1,3,-1,1,1,1,1,1,-1;-1,-1,3,-1,-1,-1,-1,-1,1;-1,1,-1,3,1,1,1,1,-1;-1,1,-1,1,3,1,1,1,-1;-1,1,-1,1,1,3,1,1,-1;-1,1,-1,1,1,1,3,1,-1;-1,1,-1,1,1,1,1,3,-1;1,-1,1,-1,-1,-1,-1,-1,3]; \\ [1024,[16,3],[8,2],[4^2.2^6.1]] Aut twice larger as Aut(OO22b2) \\ \\ The 8-dimensional sections are constituted by 2 + 2 strongly antilaminated \\ lattices, of determinants 192, which are pairwise isometric, \\ and 4 weakly antilaminated lattices, of determinant 256, \\ including Lamda_8 of minimum 4, similar to E_8 \\ Among these last lattices, there are two 4-modular lattices, \\ with Smith invariants 4^4 and 4^2.2^4 respectively. \\ Sections similar to E_7^* do not exist inside these 8-dimensional sections. \\ ======================================================================= OO8a=[3,-1,1,-1,-1,0,-2,-1;-1,3,-1,-1,-1,0,-2,-1;1,-1,3,-1,-1,-1,-2,-1;-1,-1,-1,3,1,1,2,2;-1,-1,-1,1,3,0,2,1;0,0,-1,1,0,3,0,2;-2,-2,-2,2,2,0,8,2;-1,-1,-1,2,1,2,2,4]; \\ [192,[22,3],[3,8],[12.4^2.1^6]] |AUT| = 768 = 2^8.3 OO8b=[3,-1,1,-1,-1,-2,-1,1;-1,3,-1,-1,-1,-2,-1,1;1,-1,3,-1,-1,-2,-1,-1;-1,-1,-1,3,1,2,2,1;-1,-1,-1,1,3,2,1,-1;-2,-2,-2,2,2,8,2,-4;-1,-1,-1,2,1,2,4,2;1,1,-1,1,-1,-4,2,8]; \\ [192,[20,3],[3,8],[12.4.2^2.1^4]] |AUT| = 3072 = 2^10.3 \\ lattice isometric to secOO9a1a = OO8a \\ secOO9a2=[3,-1,-1,0,0,-1,0,-1;-1,3,-1,0,0,-1,-2,-3;-1,-1,3,1,1,1,0,1;0,0,1,3,1,-1,-1,-1;0,0,1,1,3,1,-1,-1;-1,-1,1,-1,1,3,1,2;0,-2,0,-1,-1,1,4,2;-1,-3,1,-1,-1,2,2,7]; OO8c=[3,-2,0,1,0,0,1,-1;-2,8,-4,-4,4,0,-4,-8;0,-4,4,2,-2,0,2,4;1,-4,2,4,-2,2,3,3;0,4,-2,-2,5,0,-1,-7;0,0,0,2,0,4,2,-2;1,-4,2,3,-1,2,5,2;-1,-8,4,3,-7,-2,2,15]; \\ [256,[16,3],[12,12][16.4^2.1^6]] |AUT| = 512 = 2^9 OO8d=[3,1,0,1,0,-1,0,-3;1,3,0,1,0,1,0,-3;0,0,8,-4,-4,-4,6,-2;1,1,-4,4,2,2,-2,-2;0,0,-4,2,4,2,-2,0;-1,1,-4,2,2,4,-3,1;0,0,6,-2,-2,-3,8,-2;-3,-3,-2,-2,0,1,-2,8]; \\ [256,[16,3],[16,3],[4^4.1^4]] 4-modular |AUT| = 2048 = 2^11, transitive on S \\ lattice isometric to sec1OO9a1b = OO8b \\ secOO9b1=[3,-1,1,-1,-1,0,-2,1;-1,3,-1,-1,-1,0,-2,1;1,-1,3,-1,-1,-1,-2,-1;-1,-1,-1,3,1,1,2,1;-1,-1,-1,1,3,0,2,-1;0,0,-1,1,0,3,0,1;-2,-2,-2,2,2,0,8,-4;1,1,-1,1,-1,1,-4,8]; OO8e=[3,-1,-2,1,0,0,0,-2;-1,3,2,-1,-2,-2,-2,2;-2,2,8,-4,-4,-4,-4,4;1,-1,-4,4,1,1,1,0;0,-2,-4,1,5,3,3,-4;0,-2,-4,1,3,5,3,-4;0,-2,-4,1,3,3,5,-2;-2,2,4,0,-4,-4,-2,8]; \\ [256,[12,3],[12,3],[4^2.2^4.1^2]] 4-modular |AUT| = 92160 = 2^11.3^2.5 \\ NOTE. S(OO8e) spans a lattice of dimension 7 \\ with [256,[12,3],[6,2],[4^2.2^4.1^2]] |AUT| = 92160 = 2^11.3^2.5 OO8f=[8,-4,0,-2,-2,-2,-4,4;-4,4,0,0,0,0,2,-2;0,0,4,2,2,2,-2,0;-2,0,2,4,2,2,0,-2;-2,0,2,2,4,2,0,-2;-2,0,2,2,2,4,0,-2;-4,2,-2,0,0,0,4,-4;4,-2,0,-2,-2,-2,-4,8]; \\ [256,120,4,120,2,[2,2,2,2,2,2,2,2]] sqrt2\E_8 \\ =========================================================================== \\ =========================================================================== \\ PART 2 : Sections of O'_{21} (Note: O'_{21}_even = K'_{21}), \\ orthogonal to a pair of orthogonal minimal vectors of O_{23}: \\ antilaminations of O'_{21} alias Op21 from dimension 21 to 15 \\ =========================================================================== \\ REMARK. Because O'_{21} is contained in O_{22}, \\ the even sublattices of the O'_n are contained in Lambda_{22} \\ Op21 : [9,[840,3],[324,7],[3^2.1^19]] |AUT| = 52254720 = 2^11.3^6.5.7 \\ EXTREME ; Op21 and Op21^* STREUT ; S(Op21^*)=S(Kp21^*) \\ Op21_even=K'_{21} (Kp21), STRONGLY PERFECT ; dual STREUT \\ s3=840; s4=13041;s5=106596;s6=600432;s7=2604960;s8=9281790. \\ One orbit on S and S^* \\ NOTE. Op21 ~ (C2 x PSU(4,3)).D8 in Nebe-Sloane's catalogue Op21=[3,1,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,1,1,0;1,3,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1,1,-1;-1,-1,3,-1,1,-1,1,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,0,0,-1,0,-1,1;-1,0,-1,3,-1,-1,-1,1,0,-1,-1,0,1,0,0,-1,1,1,0,0,-1;-1,-1,1,-1,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,-1,0;1,0,-1,-1,0,3,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0;-1,-1,1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,-1,-1,1,0,1,0,-1,-1,-1,1;0,-1,-1,1,-1,0,-1,3,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0;1,-1,0,0,0,1,0,0,3,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,1,1,1;0,1,0,-1,0,1,0,0,-1,3,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,-1;0,-1,1,-1,0,1,1,0,0,1,3,-1,-1,0,1,1,0,-1,1,-1,0;1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,3,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0;0,1,-1,1,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,3,1,0,-1,0,1,0,1,-1;-1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,1,3,-1,0,0,0,-1,0,0;1,-1,-1,0,-1,1,0,1,1,0,1,0,0,-1,3,1,0,0,1,0,0;0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,1,3,-1,0,0,-1,1;-1,0,0,1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0,0;0,1,-1,1,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,3,0,0,-1;1,-1,0,0,0,0,-1,1,1,0,1,0,0,-1,1,0,-1,0,3,0,0;1,1,-1,0,-1,1,-1,0,1,0,-1,1,1,0,0,-1,0,0,0,3,0;0,-1,1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0,3]; \\ \\ Suppress the last vector of Op21 \\ Op20:[21,[560,3],[42,40],[21.1^19]] |AUT| = 161280 = 2^9.3^2.5.7 \\ One orbit on S and S^* \\ Op20_even: [84,[7560,4],[42,80],[42.2.1^18]] \\ L and L_even EXTREME; L, L^*, L_even STREUT, S(L_even^*)=S(L^*) Op20=[3,1,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,1,1;1,3,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1,1;-1,-1,3,-1,1,-1,1,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,0,0,-1,0,-1;-1,0,-1,3,-1,-1,-1,1,0,-1,-1,0,1,0,0,-1,1,1,0,0;-1,-1,1,-1,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,-1;1,0,-1,-1,0,3,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,1;-1,-1,1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,-1,-1,1,0,1,0,-1,-1,-1;0,-1,-1,1,-1,0,-1,3,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0;1,-1,0,0,0,1,0,0,3,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,1,1;0,1,0,-1,0,1,0,0,-1,3,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,-1,1,-1,0,1,1,0,0,1,3,-1,-1,0,1,1,0,-1,1,-1;1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,3,-1,-1,0,0,0,0,0,1;0,1,-1,1,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,3,1,0,-1,0,1,0,1;-1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,1,3,-1,0,0,0,-1,0;1,-1,-1,0,-1,1,0,1,1,0,1,0,0,-1,3,1,0,0,1,0;0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,1,3,-1,0,0,-1;-1,0,0,1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1,0;0,1,-1,1,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,3,0,0;1,-1,0,0,0,0,-1,1,1,0,1,0,0,-1,1,0,-1,0,3,0;1,1,-1,0,-1,1,-1,0,1,0,-1,1,1,0,0,-1,0,0,0,3]; \\ \\ Suppress the last vector of Op20 \\ Op19: [40,[400,3],[5,64],[40.1^18] |AUT| = 15360 = 2^10.3.5 \\ 2 orbits (240+160) on S, 1 orbit on S^* \\ Op19_even: [160,[4740,4],[5,64],[40.2^2.1^16]] (8 orbits on S) \\ Op19, Op19_even EXTREME, but NOT dual-extreme ; however, \\ gamma'(Op19_even)^2=32/5=6.4 > 6 attained on Lambda_{19} and K'_{19} \\ S(Op19^*) = S(Op19_even^*) ~ S(A_4^*) Op19=[3,1,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,1;1,3,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1;-1,-1,3,-1,1,-1,1,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,0,0,-1,0;-1,0,-1,3,-1,-1,-1,1,0,-1,-1,0,1,0,0,-1,1,1,0;-1,-1,1,-1,3,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0;1,0,-1,-1,0,3,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,-1,0;-1,-1,1,-1,1,1,3,-1,0,0,1,-1,-1,1,0,1,0,-1,-1;0,-1,-1,1,-1,0,-1,3,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1;1,-1,0,0,0,1,0,0,3,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,1;0,1,0,-1,0,1,0,0,-1,3,1,-1,1,1,0,0,0,0,0;0,-1,1,-1,0,1,1,0,0,1,3,-1,-1,0,1,1,0,-1,1;1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,3,-1,-1,0,0,0,0,0;0,1,-1,1,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,3,1,0,-1,0,1,0;-1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,1,3,-1,0,0,0,-1;1,-1,-1,0,-1,1,0,1,1,0,1,0,0,-1,3,1,0,0,1;0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,1,3,-1,0,0;-1,0,0,1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,3,-1,-1;0,1,-1,1,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,3,0;1,-1,0,0,0,0,-1,1,1,0,1,0,0,-1,1,0,-1,0,3]; \\ \\ Op18 = orth([0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1]~ \in Op19^*), \\ in a basis of minimal vectors \\ [64,[304,3], [8,12],[8^2.1^16]] |AUT| = 24576 = 2^13.3 \\ 3 orbits (192+64+48) on S, 1 orbit on S^* \\ 7 orbits (1536+1152+192+144+96+36+12) on S(L_even) \\ L and L_even EXTREME ; S(L_even^*)=S(L^*) ~ S(A_3^*\perp A_3^*) \\ One orbit on S(Op18^*) Op18=[3,1,-1,0,1,0,1,1,1,1,1,-1,1,1,0,-1,-1,0;1,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0;-1,-1,3,-1,0,1,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1;0,-1,-1,3,0,-1,0,0,0,1,1,-1,0,-1,1,-1,-1,-1;1,-1,0,0,3,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,-1,-1,0;0,-1,1,-1,0,3,0,0,0,-1,-1,0,-1,1,-1,1,0,1;1,-1,1,0,1,0,3,1,1,1,1,-1,0,0,1,-1,0,0;1,-1,0,0,1,0,1,3,1,1,1,0,0,1,1,-1,0,-1;1,-1,0,0,1,0,1,1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,-1,1,0,-1,1,1,0,3,1,-1,1,0,1,-1,0,-1;1,0,-1,1,0,-1,1,1,0,1,3,-1,0,0,1,-1,-1,-1;-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,3,0,0,0,1,1,0;1,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,3,0,0,-1,0,0;1,0,0,-1,1,1,0,1,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0;0,-1,0,1,1,-1,1,1,0,1,1,0,0,0,3,-1,0,-1;-1,0,0,-1,-1,1,-1,-1,0,-1,-1,1,-1,0,-1,3,1,1;-1,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,3,0;0,0,1,-1,0,1,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,-1,1,0,3]; \\ \\ Suppress the 12th vector of Op18 \\ Op17:[96,[232,3],[3,32],[24.2^2.1^14]] |AUT| = 18432 = 2^11.3^2 \\ 3 orbits (144+72+16) on S, 1 orbit on S^* ; S(L^*)=S(L_even^*) ~ S(A_2) \\ EUTACTIC, NON-perfect (perf = 152 < 153) \\ 5 orbits (360*2+180+30+3) on S(L_even) ; L_even EXTREME Op17=[3,1,-1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,0,-1,-1,0;1,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0;-1,-1,3,-1,0,1,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,1;0,-1,-1,3,0,-1,0,0,0,1,1,0,-1,1,-1,-1,-1;1,-1,0,0,3,0,1,1,1,0,0,0,1,1,-1,-1,0;0,-1,1,-1,0,3,0,0,0,-1,-1,-1,1,-1,1,0,1;1,-1,1,0,1,0,3,1,1,1,1,0,0,1,-1,0,0;1,-1,0,0,1,0,1,3,1,1,1,0,1,1,-1,0,-1;1,-1,0,0,1,0,1,1,3,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,-1,1,0,-1,1,1,0,3,1,1,0,1,-1,0,-1;1,0,-1,1,0,-1,1,1,0,1,3,0,0,1,-1,-1,-1;1,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,3,0,0,-1,0,0;1,0,0,-1,1,1,0,1,0,0,0,0,3,0,0,0,0;0,-1,0,1,1,-1,1,1,0,1,1,0,0,3,-1,0,-1;-1,0,0,-1,-1,1,-1,-1,0,-1,-1,-1,0,-1,3,1,1;-1,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,3,0;0,0,1,-1,0,1,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,3]; \\ \\ Op16 = orth([0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0]~ \in Op17^*) \\ in a basis of minimal vectors \\ [128,[184,3],[1,8],[8.4.2^2.1^12]] |AUT| = 49152 = 2^14.3 \\ 3 orbits (96+64+24) on S, 1 orbit on S^* \\ EUTACTIC, NON-perfect (perf = 130 < 136) \\ 5 orbits (960+320+120+90+1) on S(L_even) ; L_even EXTREME Op16=[3,-1,-1,-1,1,1,1,1,0,-1,0,0,1,0,0,0;-1,3,-1,1,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,0,1;-1,-1,3,-1,-1,0,-1,-1,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0;-1,1,-1,3,-1,0,-1,-1,1,1,0,0,-1,0,1,0;1,-1,-1,-1,3,-1,1,1,0,-1,0,0,1,0,0,0;1,0,0,0,-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,-1,-1,-1,-1;1,0,-1,-1,1,-1,3,1,0,-1,0,1,1,0,0,1;1,0,-1,-1,1,-1,1,3,0,-1,0,0,1,1,1,0;0,1,-1,1,0,-1,0,0,3,0,1,1,1,0,1,1;-1,0,0,1,-1,0,-1,-1,0,3,1,0,0,0,0,-1;0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,3,-1,1,0,1,-1;0,1,0,0,0,-1,1,0,1,0,-1,3,0,-1,-1,1;1,0,-1,-1,1,-1,1,1,1,0,1,0,3,1,1,1;0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,1,3,1,0;0,0,-1,1,0,-1,0,1,1,0,1,-1,1,1,3,0;0,1,0,0,0,-1,1,0,1,-1,-1,1,1,0,0,3]; \\ The densest hyperplane section of Op16 is isometric to OO15. \\ There are then two orbits (24+4) of vectors of the next norm (12) \\ in the rescaled dual of Op16, defining lattices Op15a and Op15b \\ Op15a: [192,[132,3],[1,12],[12.4^2.1^12]] |AUT| = 6144 = 2^11.3 ; \\ Op15b: [192,[136,3],[1,12],[12.4.2^2,1^11]] |AUT| = 24576 = 2^13.3 . \\ Both are eutactic. Their densest sections are both isometric to OO14. \\ =========================================================================== \\ PART 3 : Some more lattices included in O_{23} \\ (dimensions 22 to 17) \\ =========================================================================== \\ NOTE. The investigations of part 3 were intended to find lattices whose \\ even part has a large gamma', alias "dual-Hermite invariant", \\ alias Bergé-Martinet invariant; see dimensions 19 and 17 below. . \\ Largest value found: 48/7=6.857... and 6.0, strict lower bounds \\ \\ SOME SECTIONS of Op20 \\ The first eight norms in the rescaled dual of Op20 are \\ 40, 45, 48, 49, 52, 54, 55, 61, all of them acted on transitively \\ by Aut(Op20), defining by orthogonality lattices Op19a=Op19,Op19b,...,Op19h. \\ Here are the values of {g'}^2 on their respective even sublattices: \\ 32/5=6.4, 20/3=6.666..., 16/3=5.333..., 48/7=6.857..., \\ 76/13=5.846..., 6=6.0, 60/11=5.454..., 336/61=5.508... \\ None of the dual lattices are well-rounded, so that these lattices are \\ never dual-extreme. This proves the strict lower bound {gamma'_19}^2 > 48/7. \\ Below are Gram matrices for Op19d and its even part. Op19d=[3,1,1,0,1,-1,1,1,0,-2,0,0,-1,-1,-1,-1,-2,-1,0;1,3,1,1,0,0,1,0,1,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,1;1,1,3,-1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,2;0,1,-1,3,-1,1,0,0,-1,-2,-1,-1,-1,-2,0,-1,-1,-1,-1;1,0,0,-1,3,-1,0,0,1,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,1;-1,0,0,1,-1,3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0;1,1,1,0,0,-1,3,1,2,1,2,1,2,0,1,0,1,1,1;1,0,1,0,0,-1,1,3,1,1,1,2,2,0,1,1,0,1,1;0,1,1,-1,1,-1,2,1,4,3,2,2,4,2,2,1,2,2,2;-2,-1,1,-2,0,0,1,1,3,6,3,3,5,3,3,3,4,3,2;0,0,1,-1,0,0,2,1,2,3,4,2,4,1,2,1,3,1,2;0,-1,1,-1,1,-1,1,2,2,3,2,4,4,2,2,2,2,2,2;-1,0,1,-1,0,0,2,2,4,5,4,4,8,3,4,3,5,3,3;-1,-1,1,-2,1,0,0,0,2,3,1,2,3,4,2,2,2,2,2;-1,0,1,0,-1,1,1,1,2,3,2,2,4,2,4,2,2,2,2;-1,0,1,-1,0,0,0,1,1,3,1,2,3,2,2,4,3,1,2;-2,0,0,-1,0,0,1,0,2,4,3,2,5,2,2,3,6,1,2;-1,-1,1,-1,0,0,1,1,2,3,1,2,3,2,2,1,1,4,1;0,1,2,-1,1,0,1,1,2,2,2,2,3,2,2,2,2,1,4]; \\ [49,[364,3],[28,12],[7^2,1^17]] |AUT| = 5376 = 2^8.3.7 \\ 3 orbits (168*2+28) on S, 1 orbit on S^*; rk S^* = 12 < 19 \\ Op19d EXTREME Op19d_even=[4,-2,2,2,-2,-1,-1,2,-2,2,-2,2,-2,1,0,-1,-1,2,-1;-2,4,-2,-2,2,2,-1,-2,0,-1,0,-1,1,1,-1,-1,-1,-2,2;2,-2,4,0,-2,0,-1,1,-1,1,0,2,-2,-1,1,-1,-1,1,-2;2,-2,0,4,-2,-2,0,2,0,1,-2,0,0,1,1,0,1,2,-1;-2,2,-2,-2,4,0,1,-2,1,0,1,0,0,1,0,0,-1,-2,2;-1,2,0,-2,0,4,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0;-1,-1,-1,0,1,0,4,1,0,1,2,0,0,0,1,1,2,0,-1;2,-2,1,2,-2,0,1,4,-2,2,-1,1,0,0,1,1,1,2,-1;-2,0,-1,0,1,-1,0,-2,4,-1,1,-2,1,0,1,0,0,0,1;2,-1,1,1,0,0,1,2,-1,4,0,1,-2,1,2,-1,-1,2,0;-2,0,0,-2,1,1,2,-1,1,0,4,-1,0,-1,1,0,1,-1,0;2,-1,2,0,0,0,0,1,-2,1,-1,4,-2,1,0,0,-1,0,-1;-2,1,-2,0,0,1,0,0,1,-2,0,-2,4,0,0,2,2,0,1;1,1,-1,1,1,0,0,0,0,1,-1,1,0,4,1,-1,-1,0,1;0,-1,1,1,0,0,1,1,1,2,1,0,0,1,4,0,0,1,0;-1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,2,-1,0,4,2,0,0;-1,-1,-1,1,-1,0,2,1,0,-1,1,-1,2,-1,0,2,4,0,-1;2,-2,1,2,-2,0,0,2,0,2,-1,0,0,0,1,0,0,4,-1;-1,2,-2,-1,2,0,-1,-1,1,0,0,-1,1,1,0,0,-1,-1,4]; \\ [196,[4263,4],[28,48],[28.7,1^17]] Aut(Op19d_even) = Aut(Op19d) \\ 12 orbits (1344+672*2+336*4+84*2+28+21+14) on S ; S^*=S(Op19d^*) (rk 12) \\ Op19d_even EXTREME \\ \\ SOME SECTIONS of Op18 \\ The first five norms in the rescaled dual of Op18 are \\ 12, 15, 16, 18, 19. There are 4 orbits for norm 16, 1 orbit for the others. \\ These data define eight lattices (ordered for norm 16 by cardinalities \\ [48,24,12,6] of norm-16 vectors defining isometric sections): \\ Op17a ~ Op17, Op17b, Op17c{i}, i=1 to 4, Op17d, Op17e. \\ Vectors w? to be used to compute orthogonality and g'^2 of even sublattices: \\ (O17a: 16/3=5.333... ) \\ w15=[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1]~; \\ 24/5=4.8 \\ w16a=[0,1,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,1]~; \\ 11/2=5.5 \\ w16b=[0,0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,-1,1,0,0,-1,1,1,1]~; \\ 11/2=5.5 \\ w16c=[0,1,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1]~ \\ 6 \\ w16d=[1,1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1]~; \\ 4 \\w18=[0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,1,-1,0,-1,0,-1,-1,-1]~; \\ 15/4= 3.75 \\w19=[0,0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,-1,1,-1,1,0,1,1,1]~; \\ 72/19=3.789... \\w20a=[0,0,1,-1,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,-1,1,0,2]~; \\ 5 \\w20b=[0,1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,1]~; \\ 5 \\w20c=[0,1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,1,1]~; \\ 22/5=4.4 \\w20d=[0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1]~; \\ 22/5=4.4 \\ Below are Gram matrices for Op17c3 and its even part. Op17c3=[3,0,1,1,1,1,1,-1,1,1,0,-1,0,-1,-2,0,-1;0,3,0,0,0,1,1,-1,0,-1,1,-1,2,2,1,2,2;1,0,3,1,1,0,0,0,0,1,1,-1,1,1,0,2,1;1,0,1,3,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,0,2,2;1,0,1,1,3,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,1;1,1,0,1,0,3,1,-1,1,0,1,0,1,1,-1,1,1;1,1,0,1,0,1,3,-1,0,0,1,-1,1,1,-1,1,1;-1,-1,0,0,0,-1,-1,3,0,0,0,1,0,0,1,-1,0;1,0,0,0,0,1,0,0,3,0,0,0,-1,0,-1,0,-1;1,-1,1,1,0,0,0,0,0,3,0,0,0,-1,0,0,0;0,1,1,1,0,1,1,0,0,0,3,0,1,2,0,2,2;-1,-1,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,3,-1,0,0,-1,0;0,2,1,1,1,1,1,0,-1,0,1,-1,4,2,2,2,3;-1,2,1,1,1,1,1,0,0,-1,2,0,2,4,1,3,3;-2,1,0,0,0,-1,-1,1,-1,0,0,0,2,1,4,1,2;0,2,2,2,1,1,1,-1,0,0,2,-1,2,3,1,6,4;-1,2,1,2,1,1,1,0,-1,0,2,0,3,3,2,4,6]; \\ [128,[200,3],[16,12],[8.2.1^14]] |AUT| = 6144 = 2^11.3 \\ 3 orbits ((6*2+8) on S, 2 orbits (12+4) on S^* ; rk S^*=9 \\ EUT, NON-perfect (co-rank 6) ; Op17c3_even=[4,2,-1,2,-2,-2,1,2,2,2,-1,-2,1,2,1,1,-2;2,4,1,1,-2,0,2,0,2,2,1,-1,2,2,2,2,-2;-1,1,4,1,0,2,2,-1,-1,-1,2,2,-1,-1,2,-1,1;2,1,1,4,-2,-1,1,2,1,1,1,-1,0,1,2,-1,0;-2,-2,0,-2,4,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,-1,-2,0,2;-2,0,2,-1,0,4,1,-2,-2,-2,0,2,0,-2,1,-1,1;1,2,2,1,0,1,4,1,1,1,1,1,1,1,2,0,0;2,0,-1,2,0,-2,1,4,2,1,0,-1,1,2,0,0,0;2,2,-1,1,-1,-2,1,2,4,2,1,-1,2,2,1,2,-2;2,2,-1,1,-1,-2,1,1,2,4,1,-1,2,2,0,2,-1;-1,1,2,1,0,0,1,0,1,1,4,1,0,0,1,0,0;-2,-1,2,-1,1,2,1,-1,-1,-1,1,4,-1,-2,0,-1,1;1,2,-1,0,-1,0,1,1,2,2,0,-1,4,2,0,2,-1;2,2,-1,1,-1,-2,1,2,2,2,0,-2,2,4,0,1,-1;1,2,2,2,-2,1,2,0,1,0,1,0,0,0,4,0,-1;1,2,-1,-1,0,-1,0,0,2,2,0,-1,2,1,0,4,-1;-2,-2,1,0,2,1,0,0,-2,-1,0,1,-1,-1,-1,-1,4]; \\ [512,[1818,4],[24,12],[8^2.2^3.1^13]] |AUT| = 73728 = 2^13.3^2 \\ 6 orbits (1152+384+144+96+24+18) on S, 2 orbits (12*2) on S^* ; rk S^* = 9 \\ EXTREME ; NOT dual-extreme ===> {gamma'_{17}}^2 > 6 \\ [This is a Plesken_Pohst lattice for minimum 4 (L17d in Lambda.gp)] \\ \\ SOME SECTIONS of Oq22 below \\ \\ DIMENSION 22 - Sections of O_{23} orthogonal to vectors of norm \\ 3,4,...in O_{23}^* \\ norm 3: OO22; norm 4: Oq22 below, \\ then successive densest hyperplane sections, disregarding sections \\ belonging to one of the series OO{n} or Op{n}, from n=22 to n=18 \\ \\ SERIES Oq{n}, 22 >= n >= 18 Oq22=[3,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-2,0,0,0,-1,0,-1,-2,0,-1,-2,-2;1,3,-1,0,-1,-1,-1,0,0,0,-2,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-2,-2;-1,-1,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,2,2;0,0,0,3,-1,-1,-1,0,1,0,1,1,2,1,1,1,1,0,1,1,1,1;0,-1,0,-1,3,1,1,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,1;0,-1,0,-1,1,3,1,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,1,0,1,0,1,1;0,-1,0,-1,1,1,3,1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1;-1,0,0,0,0,0,1,3,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,1;0,0,0,1,0,0,0,0,3,0,1,1,2,1,0,1,1,0,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,-1,0,0,3,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,1,0,0;-2,-2,0,1,0,0,0,0,1,0,4,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2;0,0,0,1,-1,-1,-1,-1,1,0,2,4,2,2,2,2,1,1,1,2,0,0;0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,2,4,2,2,2,2,1,2,2,2,2;0,-1,0,1,1,-1,0,-1,1,-1,2,2,2,4,1,2,1,1,1,2,2,2;-1,-1,1,1,-1,0,0,0,0,0,2,2,2,1,4,1,1,2,2,2,2,2;0,-1,0,1,0,0,1,0,1,0,2,2,2,2,1,4,2,1,1,3,2,2;-1,-1,1,1,0,1,0,0,1,1,2,1,2,1,1,2,4,1,2,2,3,3;-2,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,2,1,1,1,2,1,1,4,1,3,3,3;0,-1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,1,2,1,2,1,2,1,4,2,3,3;-1,-1,1,1,0,0,0,0,1,1,2,2,2,2,2,3,2,3,2,6,4,4;-2,-2,2,1,1,1,1,1,1,0,2,0,2,2,2,2,3,3,3,4,7,5;-2,-2,2,1,1,1,1,1,1,0,2,0,2,2,2,2,3,3,3,4,5,11]; \\ [4,[1232,3],[22,8],[4.1^21]] |AUT| = 1816657920 = 2^19.3^2.5.7.11 \\ 1 orbit on S and on S^* ; first norms in Oq22^* : 8, 11, 12 (2 orbits) \\ Oq22 EXTREME ; S(Oq22^*) ~ Z^22 ; Oq22 and Oq22^* STREUT \\ Oq22 is isometric to Plp22b in Plp3.gp ; \\ Oq22_even EXTREME and STREUT ; S(Oq22_even^*) = S(Oq22^*) \\ The densest hyperplane section of Oq22 is isometric to OO21 \\ NOTE. The orthogonal projection of Lamda_{23} along a minimal vector \\ is a 16-modular lattice with s=1232 and min=8, whose minimal vectors \\ generate a sublattice of index 2, isometric to Oq22. \\ Oq22_even ~ plp22b in Lambda.gp, Part 2 \\ Oq21 is orthogonal to a norm 11 vector in Oq22^* : Oq21=[3,-1,-1,-1,0,0,-1,0,1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1;-1,3,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,-1,-1,0,1,1,1,1,-1,0,1;-1,-1,3,-1,0,0,-1,0,-1,-1,-1,0,0,0,-1,-1,-1,1,0,-1,0;-1,1,-1,3,1,-1,1,-1,1,-1,1,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,1;0,-1,0,1,3,-1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,-1,0;0,-1,0,-1,-1,3,1,1,-2,0,-1,1,0,0,0,-1,-1,-2,1,0,-1;-1,1,-1,1,-1,1,3,-1,0,-1,0,1,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0;0,-1,0,-1,1,1,-1,3,-1,1,-1,1,-1,0,0,-1,-1,0,1,0,-1;1,1,-1,1,1,-2,0,-1,4,1,2,-2,1,0,0,1,1,1,-1,0,1;1,1,-1,-1,0,0,-1,1,1,4,1,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0;1,1,-1,1,0,-1,0,-1,2,1,3,-2,1,1,-1,2,1,1,-1,1,0;-1,-1,0,0,0,1,1,1,-2,-1,-2,4,-1,-2,1,-1,-1,-1,1,0,0;1,-1,0,0,0,0,0,-1,1,-1,1,-1,3,1,-1,1,0,-1,0,1,0;1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,-2,1,3,-1,1,0,0,0,1,-1;-1,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,-1,-1,4,-1,0,0,-1,-1,1;1,1,-1,1,-1,-1,0,-1,1,0,2,-1,1,1,-1,4,2,1,0,2,0;1,1,-1,0,-1,-1,0,-1,1,1,1,-1,0,0,0,2,3,0,0,1,0;-1,1,1,1,1,-2,-1,0,1,0,1,-1,-1,0,0,1,0,4,-1,-1,1;1,-1,0,-1,0,1,0,1,-1,0,-1,1,0,0,-1,0,0,-1,3,0,-1;1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,1,-1,2,1,-1,0,3,-1;-1,1,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,-1,-1,3]; \\ [11,[770,3],[22,21],[11.1^20]] |AUT| = 1774080 = 2^9.3^2.5.7.11 \\ 1 orbit on S and on S^* ~ S(A_{21}^*); \\ Oq21 EXTREME ; Oq21 and Oq21^* STREUT \\ Oq21_even EXTREME and STREUT ; S(Oq2q_even^*) = S(Oq21^*) \\ Norms in Oq21^*: 21, 24, 28, 29, 30,... ; densest section : Op20; \\ Orthogonal to a norm 24 vector: Oq20=[3,-1,1,1,-1,-1,0,0,1,-1,1,-1,1,1,0,-1,-1,0,0,-1;-1,3,1,-1,0,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,-1,1,0,0,0,-1,0;1,1,3,-1,-1,1,0,0,1,-1,0,0,2,1,1,-1,-1,1,-1,-1;1,-1,-1,3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,1,1;-1,0,-1,-1,3,1,0,0,1,1,1,0,-1,0,-1,1,1,-1,0,0;-1,1,1,-1,1,3,-1,-1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,1,-1,0;0,-1,0,-1,0,-1,3,1,-1,1,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,-1;0,-1,0,-1,0,-1,1,3,-1,1,-1,0,-1,1,-1,0,0,-1,0,0;1,1,1,-1,1,1,-1,-1,4,-1,1,1,1,1,0,-1,0,0,0,-1;-1,-1,-1,0,1,0,1,1,-1,3,0,-1,-1,0,0,1,1,-1,1,0;1,1,0,0,1,0,0,-1,1,0,4,-1,1,0,0,0,0,-1,0,-1;-1,1,0,-1,0,1,-1,0,1,-1,-1,3,0,0,0,0,0,1,-1,0;1,1,2,-1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,4,1,1,-1,0,1,-1,-2;1,-1,1,-1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,3,-1,-1,0,0,0,-1;0,1,1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,1,-1,3,1,0,1,-1,0;-1,0,-1,0,1,1,0,0,-1,1,0,0,-1,-1,1,3,1,0,-1,1;-1,0,-1,0,1,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,3,-1,0,1;0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,-1,-1,1,1,0,1,0,-1,3,-1,0;0,-1,-1,1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,-1,0,-1,-1,0,-1,3,0;-1,0,-1,1,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,-2,-1,0,1,1,0,0,3]; \\ [24,[530,3],[6,40],[24.1^19]] |AUT| = 92160 = 2^11.3^2.5 \\ 3 orbits (360+160+10) on S, 1 orbit on S^* ; \\ Oq20 EXTREME ; |S(Oq20^*)| < dim Oq20 ; Oq20_even EXTREME \\ Norms in Oq20^*: 40 (orthogonal section Op19), 45, 48,... \\ orthogonal to a norm 45 vector; Oq19=[3,-1,1,1,-1,-1,0,1,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1;-1,3,1,-1,0,1,-1,0,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,0,1;1,1,3,-1,-1,1,0,0,-1,-1,1,1,-1,0,2,0,1,0,0;1,-1,-1,3,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,0,0,0,-1,0,1,1,-1;-1,0,-1,-1,3,1,0,0,1,-1,1,-1,1,0,-1,-1,0,0,1;-1,1,1,-1,1,3,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,0,1,0,1;0,-1,0,-1,0,-1,3,-1,0,1,-1,1,1,-1,0,0,-1,0,0;1,0,0,1,0,-1,-1,3,-1,-1,1,1,0,0,0,-1,1,0,0;-1,1,-1,-1,1,0,0,-1,3,0,0,-1,0,0,-1,0,-2,0,0;0,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,0,3,-1,0,1,-1,0,1,-1,0,-1;0,1,1,-1,1,1,-1,1,0,-1,3,0,0,0,1,-1,0,-1,1;1,-1,1,0,-1,-1,1,1,-1,0,0,3,0,-1,0,-1,1,0,-1;-1,-1,-1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,3,-1,-1,0,0,0,0;-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,-1,3,-1,1,0,-1,1;1,1,2,-1,-1,1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,4,0,0,0,0;-1,1,0,0,-1,0,0,-1,0,1,-1,-1,0,1,0,3,-1,0,0;1,-1,1,1,0,1,-1,1,-2,-1,0,1,0,0,0,-1,4,1,0;1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,3,-1;-1,1,0,-1,1,1,0,0,0,-1,1,-1,0,1,0,0,0,-1,3]; \\ [45,[380,3],[12,25],[15.3.1^17]] |AUT| = 11520 = 2^8.3^2.5 \\ 3 orbits (180*2+20) on S, 1 orbit on S^* ; \\ Oq19 EXTREME and STREUT ; |S(Oq19^*)| < dim Oq19 ; Oq19_even EXTREME \\ g'^2(Oq19_even)=20/3=6.666... \\ Norms in Oq19^*: 25, 27, 28, 32, 33,... ; densest section: Oq18 Oq18=[3,1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,-1,-1,1,0,1,-1,0;1,3,1,-1,-1,1,-1,-1,1,0,0,1,-1,0,1,1,0,-1;-1,1,3,1,-1,0,0,-1,0,1,-1,1,1,0,1,0,1,-1;-1,-1,1,3,1,0,1,0,-1,1,0,0,1,-1,1,-1,1,1;-1,-1,-1,1,3,1,1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1;0,1,0,0,1,3,-1,1,-1,1,0,1,0,-1,1,1,-1,0;0,-1,0,1,1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0;-1,-1,-1,0,1,1,-1,3,-1,1,1,0,0,-1,-1,-1,-1,1;0,1,0,-1,-1,-1,-1,-1,3,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,0,1,1,0,1,-1,1,-1,3,1,0,1,-1,1,-1,0,0;0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,1,3,-1,0,-1,0,-1,0,0;-1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,3,0,0,1,1,1,-1;-1,-1,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,3,-1,1,0,0,0;1,0,0,-1,-1,-1,0,-1,0,-1,-1,0,-1,3,-1,1,0,-1;0,1,1,1,0,1,0,-1,0,1,0,1,1,-1,3,1,1,0;1,1,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,-1,1,0,1,1,3,0,-1;-1,0,1,1,0,-1,1,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,3,-1;0,-1,-1,1,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,-1,3]; \\ [75,[280,3],[15,24],[15.5.1^16]] |AUT| = 2880 = 2^6.3^2.5 \\ 4 orbits (180+60+30+10) on S, 1 orbit on S^* ; \\ NON perfect (co-rank 1), EUT ; |S(Oq18^*)| < dim Oq18 ; Oq18_even EXTREME \\ The next latties Oq{n}_even (n=17,16) have small invariants gamma' \\ \\ ========================================================================== \\ PART 4 : the Lattice O_{24} \\ =========================================================================== \\ OO24=OQ24: [1,[2048,3],[2048,3],[1^24]] \\ |AUT| = 1002795171840 = 2^22.3^3.5.7.11.23 \\ STREUT, but NON-perfect (perf = 277) \\ One orbit of minimal vectors --> OQ23; \\ One orbit of planes for determinants 8 (--> OQ22) and 9 \\ OO24_even : [4,[49128,4],[24,4],[2^2]] EXTREME, STREUT; S(dual)~S(Z^{24}) \\ ===> OO24_even EXTREME and DUAL-EXTREME \\ The lattices Z23a, Z22a, Z22b are NON-perfect; the lattices Z23a, Z22b, \\ their even sublattices and the duals of these lattices are STREUT \\ OO24=[3,-1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,1; -1,3,-1,-1,1,0,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,0,-1,-1,0,1,0,0; -1,-1,3,-1,0,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,0,1,0; 1,-1,-1,3,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1; -1,1,0,-1,3,-1,1,1,1,1,0,-1,0,-1,1,-1,0,-1,-1,1,-1,-1,1,-1; 0,0,-1,0,-1,3,-1,1,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,1,1,0,-1,0,1,-1,0; 0,-1,0,0,1,-1,3,0,1,-1,1,1,0,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,-1,1,0; 0,0,-1,0,1,1,0,3,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,0,1,-1,0,0,-1,-1,0; 0,0,1,-1,1,-1,1,-1,3,1,0,-1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1,0,1,0; 0,1,0,0,1,0,-1,0,1,3,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1; 0,-1,1,1,0,-1,1,-1,0,0,3,0,-1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,1,-1; 1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,3,1,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,1; -1,1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,-1,1,3,-1,0,-1,0,1,-1,-1,1,0,-1,0; 1,-1,1,0,-1,-1,0,-1,0,-1,0,1,-1,3,-1,1,0,0,1,1,0,0,1,1; 0,1,-1,-1,1,0,0,0,1,1,-1,0,0,-1,3,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0; 1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,-1,3,0,0,1,0,0,0,0,1; 0,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,-1,-1,1,0,0; 1,0,-1,0,-1,1,-1,1,-1,0,-1,1,1,0,0,0,0,3,0,0,1,0,-1,1; 0,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,1,0,1,0,0,3,1,0,0,0,1; 0,-1,1,-1,1,-1,1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,1,3,0,-1,1,0; -1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,3,0,-1,0; 0,1,0,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,3,0,0; 0,0,1,-1,1,-1,1,-1,1,0,1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,1,-1,0,3,0; 1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,-1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,3]; OQ24=OO24; \\ OQ23 : [3,[1288,3],[759,8],[3.1^22]] perf=253<276, STREUT ; \\ dual: EXTREME and STREUT, OQ23 and OQ23^* DUAL-EXTREME \\ |AUT| = 489646080 = 2^11.3^3,5.7.11.23 for both OQ23 and OQ23even \\ (Aut(OQ23)=2 \times M_{24}) \\ OQ23_even: [12,[26841,4],[24,23][12]] ; 2 orbits(26565+276) on S \\ OQ23_even EXTREME and STREUT, dual STREUT ===> OQ23_even DUAL-EXTREME OQ23=[3,-1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,1,0,1,0,0,-1,0,0;-1,3,-1,-1,1,0,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,0,-1,-1,0,1,0;-1,-1,3,-1,0,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,0,1;1,-1,-1,3,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,-1;-1,1,0,-1,3,-1,1,1,1,1,0,-1,0,-1,1,-1,0,-1,-1,1,-1,-1,1;0,0,-1,0,-1,3,-1,1,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,1,1,0,-1,0,1,-1;0,-1,0,0,1,-1,3,0,1,-1,1,1,0,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,-1,1;0,0,-1,0,1,1,0,3,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,0,1,-1,0,0,-1,-1;0,0,1,-1,1,-1,1,-1,3,1,0,-1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1,0,1;0,1,0,0,1,0,-1,0,1,3,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0;0,-1,1,1,0,-1,1,-1,0,0,3,0,-1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,1;1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,3,1,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0;-1,1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,-1,1,3,-1,0,-1,0,1,-1,-1,1,0,-1;1,-1,1,0,-1,-1,0,-1,0,-1,0,1,-1,3,-1,1,0,0,1,1,0,0,1;0,1,-1,-1,1,0,0,0,1,1,-1,0,0,-1,3,-1,0,0,0,0,-1,-1,0;1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,-1,3,0,0,1,0,0,0,0;0,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,-1,-1,1,0;1,0,-1,0,-1,1,-1,1,-1,0,-1,1,1,0,0,0,0,3,0,0,1,0,-1;0,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,1,0,1,0,0,3,1,0,0,0;0,-1,1,-1,1,-1,1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,1,3,0,-1,1;-1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,3,0,-1;0,1,0,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,3,0;0,0,1,-1,1,-1,1,-1,1,0,1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,1,-1,0,3]; \\ \\ diag(3/OQ23)=[8,29,41,20,33,11,41,11,21,8,20,26,8,8,15,11,11,8,8,8,9,8,8] \\ OQ22: suppress the last basis vector in OQ23 \\ OQ22: [8,[840,3],[15,16],[8.1^21]] |AUT| = 1290240 = 2^12.3^2.5.7, \\ transitive on S and S^* \\ NOT perfect (perf=230<253),NOT weakly eutactic \\ OQ22_even: [32,[15233,4],[8,14],[8.4]], AUT = AUT(OQ22), \\ transitive on S and S^* \\ OQ22_even PERFECT [eutaxy not known] OQ22=[3,-1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,1,0,1,0,0,-1,0;-1,3,-1,-1,1,0,-1,0,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,0,-1,-1,0,1;-1,-1,3,-1,0,-1,0,-1,1,0,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,0;1,-1,-1,3,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0;-1,1,0,-1,3,-1,1,1,1,1,0,-1,0,-1,1,-1,0,-1,-1,1,-1,-1;0,0,-1,0,-1,3,-1,1,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,1,1,0,-1,0,1;0,-1,0,0,1,-1,3,0,1,-1,1,1,0,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,-1;0,0,-1,0,1,1,0,3,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,0,1,-1,0,0,-1;0,0,1,-1,1,-1,1,-1,3,1,0,-1,-1,0,1,0,-1,-1,0,1,-1,0;0,1,0,0,1,0,-1,0,1,3,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0;0,-1,1,1,0,-1,1,-1,0,0,3,0,-1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0;1,-1,-1,1,-1,0,1,0,-1,-1,0,3,1,1,0,0,0,1,0,0,0,-1;-1,1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,-1,1,3,-1,0,-1,0,1,-1,-1,1,0;1,-1,1,0,-1,-1,0,-1,0,-1,0,1,-1,3,-1,1,0,0,1,1,0,0;0,1,-1,-1,1,0,0,0,1,1,-1,0,0,-1,3,-1,0,0,0,0,-1,-1;1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,-1,3,0,0,1,0,0,0;0,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,-1,-1,1;1,0,-1,0,-1,1,-1,1,-1,0,-1,1,1,0,0,0,0,3,0,0,1,0;0,-1,1,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,1,0,1,0,0,3,1,0,0;0,-1,1,-1,1,-1,1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,1,3,0,-1;-1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,-1,1,0,0,3,0;0,1,0,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,3]; \\ \\ densest section pf OQ22: \\ [16,[616,3],[42,8],[4^2.1^19]] |Aut| = 516096 = 2^13.3^2.1 \\ 2 orbits (168+148) on S, transitive on S^* \\ perf=208, OQ21 and OQ21^* STREUT \\ OO21_even extreme, OO21_even and OO21_even^* STREUT OQ21=[3,-1,1,1,1,0,-1,-1,0,1,-1,-1,1,0,-1,-1,0,0,0,-1,-1;-1,3,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1,-1,1,0,0,-1,0,0,0;1,1,3,-1,0,-1,0,-1,0,0,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,0,0,0;1,-1,-1,3,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0;1,-1,0,1,3,-1,1,-1,0,-1,-1,0,0,-1,-1,-1,1,-1,0,0,-1;0,-1,-1,0,-1,3,-1,1,0,0,1,0,-1,1,1,1,-1,1,0,0,0;-1,0,0,0,1,-1,3,0,-1,-1,-1,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,1;-1,0,-1,0,-1,1,0,3,1,0,1,1,-1,1,1,1,0,0,1,1,1;0,0,0,0,0,0,-1,1,3,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0;1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,3,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0;-1,0,-1,0,-1,1,-1,1,0,-1,3,0,-1,1,1,0,-1,1,0,0,0;-1,1,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,1,0,0,-1,0,0,0;1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,1,-1,0,3,-1,0,-1,1,0,1,0,0;0,-1,-1,0,-1,1,-1,1,0,0,1,0,-1,3,0,0,-1,1,-1,0,0;-1,1,-1,0,-1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,3,1,-1,0,0,0,0;-1,0,-1,-1,-1,1,0,1,1,1,0,0,-1,0,1,3,0,0,0,1,0;0,0,1,-1,1,-1,0,0,1,0,-1,0,1,-1,-1,0,3,-1,1,1,0;0,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,0,1,-1,0,1,0,0,-1,3,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,3,1,1;-1,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,3,0;-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,3]; \\ \\ \\ ========================================================================== \\ PART 5 : Some other minimum 3-lattices \\ =========================================================================== \\ We NOTABLY display Gram matrices for some lattices of minimum 3 \\ having a K_n or a K'_n as even sublattice, under the notation \\ OK_{n}, OKp_{n} OK17=[3,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,0;-1,3,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,0,1,0,0,0,0,-1;-1,-1,3,-1,1,1,-1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1;1,-1,-1,3,-1,-1,1,0,0,1,0,-1,0,-1,-1,-1,0;-1,-1,1,-1,3,1,-1,-1,1,-1,0,0,0,1,1,0,1;-1,-1,1,-1,1,3,-1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1;1,1,-1,1,-1,-1,3,0,-1,0,-1,0,0,-1,-1,0,0;-1,1,0,0,-1,0,0,3,-1,1,1,1,0,-1,1,-1,0;-1,-1,1,0,1,1,-1,-1,3,-1,0,0,1,1,0,-1,0;1,-1,0,1,-1,0,0,1,-1,3,0,-1,-1,-1,0,0,0;-1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,3,0,0,0,1,-1,-1;-1,1,1,-1,0,0,0,1,0,-1,0,3,1,-1,0,0,1;-1,0,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,3,0,0,0,0;-1,0,0,-1,1,1,-1,-1,1,-1,0,-1,0,3,0,0,-1;-1,0,1,-1,1,1,-1,1,0,0,1,0,0,0,3,-1,1;1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,-1,3,0;0,-1,1,0,1,1,0,0,0,0,-1,1,0,-1,1,0,3]; \\ [96,[232,3],[3,32],[24.2^2]] Aut| = 18432 = 2^11.3^2 \\ perf=dualperf=152; EUT; OK17_even=K17 \\ WARNING. By orthogonalty to a minimal vector of OK17^*, one obtains \\ a lattice with even sublattice Plesken-Pohst's L16b ; see OL16b below \\ We define OK16 using the second level of OK17^* OK16=[3,1,-1,1,1,-1,-1,1,0,0,0,-1,-1,1,-1,0;1,3,1,1,-1,-1,-1,-1,1,-1,-1,0,0,0,0,1;-1,1,3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,1,1,-1,1,1;1,1,-1,3,1,-1,1,1,1,0,0,0,-1,1,-1,0;1,-1,-1,1,3,-1,1,2,0,1,0,0,-1,1,0,-1;-1,-1,-1,-1,-1,3,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;-1,-1,-1,1,1,1,3,1,1,1,0,0,0,0,0,-1;1,-1,-1,1,2,0,1,4,-1,0,-1,0,0,2,-1,-1;0,1,0,1,0,0,1,-1,3,1,0,-1,-1,-1,1,0;0,-1,0,0,1,0,1,0,1,3,1,-1,0,-1,0,-1;0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,3,-1,-1,0,-1,-1;-1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,-1,-1,3,0,0,0,0;-1,0,1,-1,-1,1,0,0,-1,0,-1,0,3,0,0,1;1,0,-1,1,1,0,0,2,-1,-1,0,0,0,3,-1,0;-1,0,1,-1,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,-1,3,1;0,1,1,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1,0,1,0,1,3]; \\ [144,[172,3],[6,16],[12^2]] |Aut| = 9216 = 2^10.3^2 \\ OK15=[3,1,1,0,-1,1,1,-1,-1,1,0,1,1,1,-1;1,3,1,1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,1,0,1;1,1,3,-1,-1,0,-1,0,-1,1,1,1,1,-1,1;0,1,-1,3,-1,-1,1,0,1,-1,-1,-1,-1,1,0;-1,-1,-1,-1,3,0,0,1,0,-1,0,-1,-1,0,0;1,0,0,-1,0,3,0,0,-1,1,0,1,0,0,-1;1,0,-1,1,0,0,3,0,0,0,-1,0,-1,1,-1;-1,-1,0,0,1,0,0,3,-1,0,0,-1,-1,-1,0;-1,0,-1,1,0,-1,0,-1,3,-1,-1,0,-1,1,1;1,0,1,-1,-1,1,0,0,-1,3,0,1,1,-1,-1;0,1,1,-1,0,0,-1,0,-1,0,3,0,1,-1,1;1,0,1,-1,-1,1,0,-1,0,1,0,3,1,0,0;1,1,1,-1,-1,0,-1,-1,-1,1,1,1,3,-1,0;1,0,-1,1,0,0,1,-1,1,-1,-1,0,-1,3,-1;-1,1,1,0,0,-1,-1,0,1,-1,1,0,0,-1,3]; \\ [216,[124,3],[2,27],[24.3^2]] |Aut| = 1152 = 2^7.3^2 \\ perf(OK15)=110; OK15 only WEAKLY eutactic; 6 orbits on S, 1 on S^* \\ OK15_even=K15 OK14=[3,1,1,0,-1,1,1,-1,-1,0,1,1,1,1;1,3,1,1,-1,0,0,-1,0,1,0,1,0,0;1,1,3,-1,-1,0,-1,0,-1,1,1,1,-1,0;0,1,-1,3,-1,-1,1,0,1,-1,-1,-1,1,1;-1,-1,-1,-1,3,0,0,1,0,0,-1,-1,0,-1;1,0,0,-1,0,3,0,0,-1,0,1,0,0,-1;1,0,-1,1,0,0,3,0,0,-1,0,-1,1,1;-1,-1,0,0,1,0,0,3,-1,0,-1,-1,-1,0;-1,0,-1,1,0,-1,0,-1,3,-1,0,-1,1,0;0,1,1,-1,0,0,-1,0,-1,3,0,1,-1,-1;1,0,1,-1,-1,1,0,-1,0,0,3,1,0,-1;1,1,1,-1,-1,0,-1,-1,-1,1,1,3,-1,0;1,0,-1,1,0,0,1,-1,1,-1,0,-1,3,1;1,0,0,1,-1,-1,1,0,0,-1,-1,0,1,3]; \\ [243,[100,3],[1,9],[9.3^3]] |Aut| = 15552 = 2^6.3^5 \\ perf(OK14)=92; OK14 only WEAKLY eutactic; 3 orbits on S, 1 orbit on S^* \\ OK14_even=K14 OK13=[3,-1,1,-1,-1,-1,1,0,0,-1,-1,-1,0;-1,3,1,1,-1,1,1,-1,1,0,0,0,-1;1,1,3,1,-1,-1,1,0,1,-1,0,0,-1;-1,1,1,3,1,-1,-1,1,1,0,1,1,0;-1,-1,-1,1,3,-1,-1,1,-1,1,1,1,1;-1,1,-1,-1,-1,3,1,-1,0,1,-1,0,0;1,1,1,-1,-1,1,3,-1,0,0,-1,-1,-1;0,-1,0,1,1,-1,-1,3,1,1,1,0,1;0,1,1,1,-1,0,0,1,3,0,1,-1,-1;-1,0,-1,0,1,1,0,1,0,3,1,1,0;-1,0,0,1,1,-1,-1,1,1,1,3,0,-1;-1,0,0,1,1,0,-1,0,-1,1,0,3,0;0,-1,-1,0,1,0,-1,1,-1,0,-1,0,3]; \\ [243,[82,3],[108,4],[3^5]] |Aut| = 622080 = 2^9.3^5.5 \\ perf(OK13)=73; only WEAKLY eutactic; 2 orbits on S, 1 orbit on S^* \\ OK13_even=K13 \\ WARNING. Since det(K_{12}=3^6) is not divisible by 4, \\ K_{12} IS NOT the even sublattice of an odd lattice \\ OKp10=[3,1,1,-1,1,1,-1,0,-1,1;1,3,-1,-1,-1,1,0,0,-1,1;1,-1,3,-1,1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,-1,3,-1,0,0,1,1,0;1,-1,1,-1,3,-1,-1,-1,-1,0;1,1,0,0,-1,3,-1,0,-1,1;-1,0,-1,0,-1,-1,3,0,1,-1;0,0,-1,1,-1,0,0,3,0,0;-1,-1,0,1,-1,-1,1,0,3,0;1,1,-1,0,0,1,-1,0,0,3]; \\ [243,[40,3],[40,3],[3^5]] |Aut| = 103680 = 2^8.3^4.5 \\ perf(OKp10)=40; STREUT, 3-modular; Aut transitve on S and S^* \\ densest section OKp9 below; OKp10_even=Kp10 OKp9=[3,1,1,-1,1,1,-1,0,-1;1,3,-1,-1,-1,1,0,0,-1;1,-1,3,-1,1,0,-1,-1,0;-1,-1,-1,3,-1,0,0,1,1;1,-1,1,-1,3,-1,-1,-1,-1;1,1,0,0,-1,3,-1,0,-1;-1,0,-1,0,-1,-1,3,0,1;0,0,-1,1,-1,0,0,3,0;-1,-1,0,1,-1,-1,1,0,3]; \\ [243,[28,3],[27,8],[9.3^3]] |Aut| = 2592 = 2^5.3^4 \\ perf(OKp9)=28; (strongly) SEMI-EUT; 2 orbits on S, 1 orbit on S^* \\ WARNING. The densest section of OKp9 IS NOT Kp8 \\ OL16b=[3,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,2,2,1;-1,3,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,0,0,0,0,2,1,0;-1,-1,3,-1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,-2,-2,0;1,-1,-1,3,-1,0,0,1,-1,0,-1,-1,-1,2,1,1;-1,-1,1,-1,3,-1,1,-1,0,0,1,1,0,-2,-1,0;-1,1,0,0,-1,3,-1,1,1,0,-1,1,-1,0,-1,0;-1,-1,1,0,1,-1,3,-1,0,1,1,0,-1,-2,-1,-1;1,-1,0,1,-1,1,-1,3,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;-1,1,1,-1,0,1,0,-1,3,1,-1,0,0,0,0,1;-1,0,1,0,0,0,1,-1,1,3,0,0,0,0,0,0;-1,0,0,-1,1,-1,1,-1,-1,0,3,0,0,-2,-1,-2;-1,0,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,3,-1,-2,-2,0;1,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,3,0,1,0;2,2,-2,2,-2,0,-2,0,0,0,-2,-2,0,8,5,3;2,1,-2,1,-1,-1,-1,0,0,0,-1,-2,1,5,6,3;1,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,-2,0,0,3,3,4]; \\ [128,[184,3],[1,8],[8.4.2^2]] |Aut| = 49152 = 2^14.3 \\ perf=130; EUT; 3 orbits (24+64+96) on S, 1 orbit on S^* \\ OL16b_even=L16b (Plesken-Pohst); deset section of OL16b isometric to L15 \\ \\ Lattice C2 x L(3,3):C2 = Q'_13(4)^{+2} in NEBE-SLOANE'S CATALOGUE \\ and its dual, both in a basis of minimal vectors NS3_13=[3,-1,0,-1,-1,0,0,1,1,1,-1,0,0;-1,3,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1;0,-1,3,-1,1,0,0,0,-1,-1,-1,0,0;-1,0,-1,3,0,-1,1,0,0,0,0,1,0;-1,0,1,0,3,1,1,0,0,0,0,1,1;0,1,0,-1,1,3,0,1,1,0,0,0,0;0,-1,0,1,1,0,3,1,0,1,0,0,0;1,0,0,0,0,1,1,3,0,0,0,0,-1;1,0,-1,0,0,1,0,0,3,0,0,1,1;1,0,-1,0,0,0,1,0,0,3,0,0,0;-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,3,-1,1;0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,-1,3,0;0,-1,0,0,1,0,0,-1,1,0,1,0,3]; \\ [2187,[26,3],[52,3],[3^7]] |Aut| = 22464 = 2^6.3^3.13 \\ perf=25; STREUT NS3_13d=[3,1,-1,-1,0,-1,1,0,1,-1,1,1,-1;1,3,1,-1,1,0,1,0,0,1,0,1,-1;-1,1,3,-1,0,0,0,0,-1,1,-1,-1,0;-1,-1,-1,3,-1,1,0,0,-1,0,1,0,1;0,1,0,-1,3,1,1,0,1,1,-1,1,-1;-1,0,0,1,1,3,1,0,0,0,-1,0,1;1,1,0,0,1,1,3,1,1,0,0,0,-1;0,0,0,0,0,0,1,3,1,0,0,-1,-1;1,0,-1,-1,1,0,1,1,3,-1,0,1,-1;-1,1,1,0,1,0,0,0,-1,3,-1,0,-1;1,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,-1,3,1,0;1,1,-1,0,1,0,0,-1,1,0,1,3,-1;-1,-1,0,1,-1,1,-1,-1,-1,-1,0,-1,3]; \\ [729,[52,3],[26,3],[3^6]] |Aut| = 22464 = 2^6.3^3.13 \\ perf=dualperf=52; STREUT \\ {NS3_13}_even: NS3_13e=[4,2,2,1,2,2,-1,-1,0,-1,2,-2,2;2,4,1,-1,1,2,0,0,-1,0,0,-1,1;2,1,4,2,2,1,-2,-1,1,-1,1,-2,2;1,-1,2,4,1,0,-2,0,1,0,1,-1,1;2,1,2,1,4,0,-2,-2,-1,-2,0,-1,1;2,2,1,0,0,4,-1,1,0,0,1,-1,2;-1,0,-2,-2,-2,-1,4,1,-1,0,0,0,-1;-1,0,-1,0,-2,1,1,4,1,0,-1,0,-1;0,-1,1,1,-1,0,-1,1,4,1,1,-1,0;-1,0,-1,0,-2,0,0,0,1,4,0,0,-1;2,0,1,1,0,1,0,-1,1,0,4,-2,1;-2,-1,-2,-1,-1,-1,0,0,-1,0,-2,4,-1;2,1,2,1,1,2,-1,-1,0,-1,1,-1,4]; \\ [8748,[117,4],[52,12],[12.3^6]] |Aut| = 22464 = 2^6.3^3.13 \\ EXTREME, NS3_13e and NS3_13e^* STREUT ===> DUAL-EXTREME \\ Dual of {NS3_13}_even: NS3_13ed=[12,0,-4,-4,4,-4,4,4,-4,4,4,0,-6;0,12,0,0,4,0,4,4,0,4,0,0,2;-4,0,12,4,0,4,4,4,0,0,-4,4,6;-4,0,4,12,0,4,-4,0,4,0,-4,4,2;4,4,0,0,12,4,4,4,0,0,0,4,-2;-4,0,4,4,4,12,0,4,4,0,0,4,6;4,4,4,-4,4,0,12,4,-4,4,0,4,2;4,4,4,0,4,4,4,12,0,4,4,4,2;-4,0,0,4,0,4,-4,0,12,4,-4,4,-2;4,4,0,0,0,0,4,4,4,12,0,4,-2;4,0,-4,-4,0,0,0,4,-4,0,12,-4,-2;0,0,4,4,4,4,4,4,4,4,-4,12,-2;-6,2,6,2,-2,6,2,2,-2,-2,-2,-2,13]; \\ [12230590464,[52,12],[117,4],[12^6.4^6.1]] \\ [ODD lattice of EVEN minimum; diagonal: 12^12,13^1] \\ {NS3_13d}_even: NS3_13de=[4,2,2,1,2,-1,-2,1,1,0,2,0,1;2,4,2,2,1,1,-2,1,2,1,1,-1,-1;2,2,4,2,2,1,-1,2,2,-1,0,1,1;1,2,2,4,2,2,0,0,1,-1,-1,1,-1;2,1,2,2,4,1,-1,1,0,0,1,0,0;-1,1,1,2,1,4,0,1,1,0,-2,0,-1;-2,-2,-1,0,-1,0,4,0,-2,-2,-2,1,1;1,1,2,0,1,1,0,4,0,-1,0,-1,2;1,2,2,1,0,1,-2,0,4,0,0,1,-1;0,1,-1,-1,0,0,-2,-1,0,4,1,-1,-1;2,1,0,-1,1,-2,-2,0,0,1,4,-1,0;0,-1,1,1,0,0,1,-1,1,-1,-1,4,1;1,-1,1,-1,0,-1,1,2,-1,-1,0,1,4]; \\ [2916,[234,4],[26,12],[12.3^5]] \\ NS3_13de EXTREME and DUAL-EXTREME; NS3_13de amd NS3_13de^* STREUT \\ \\=========================================================================== \\ END OF FILE \\=========================================================================== \\