\\ =========================================================================== \\ PART 1 An INTEGRAL LATTICE of MINIMUM 11 \\ =========================================================================== \\ \\ Last update: October 5th, 2023 \\ \\ M11_22. CONSTRUCTION: \\ Obtained from the matrix of Qc22 im Min5.gp (of minimum 5): \\ consider in (Qc22_even)^* the sublattice of index 2 generated \\ by its minimal vectors. This is a scaled copy to minimum 11 of this lattice, \\ defined by the matrix below, given in a basis of minimal vectors. \\ NOTE. M_11_22 is similar to the dual of OO22c in Min3.gp. M11_22=[11,1,1,1,-1,1,-1,-1,1,4,-4,-1,4,-1,1,4,1,-1,1,4,-1,-4;1,11,-4,1,-1,1,-1,4,-4,4,1,-1,4,-1,1,-1,-4,-1,1,-1,4,1;1,-4,11,1,4,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,4,-4,4,1,-1,-4,-1,-1,-4;1,1,1,11,-1,1,4,4,-4,-1,1,-1,4,-1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,-4;-1,-1,4,-1,11,-1,1,-4,4,-4,4,1,1,1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1;1,1,1,1,-1,11,-1,-1,1,4,1,-1,-1,4,-4,-1,-4,4,1,-1,-1,-4;-1,-1,-1,4,1,-1,11,1,-1,-4,-1,1,1,1,-1,-4,-1,1,4,-4,-4,-1;-1,4,-1,4,-4,-1,1,11,-1,1,-1,-4,1,-4,4,-4,-1,1,-1,1,1,-1;1,-4,1,-4,4,1,-1,-1,11,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,4,1,4,-1,1;4,4,-1,-1,-4,4,-4,1,-1,11,-1,-4,1,1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1;-4,1,1,1,4,1,-1,-1,1,-1,11,-1,-1,-1,-4,-1,1,-1,-4,-1,4,1;-1,-1,-1,-1,1,-1,1,-4,-1,-4,-1,11,1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-4,-1;4,4,-1,4,1,-1,1,1,-1,1,-1,1,11,-4,-1,1,-1,1,4,1,1,-1;-1,-1,4,-1,1,4,1,-4,-1,1,-1,1,-4,11,-1,1,-1,1,-1,-4,-4,-1;1,1,-4,1,-1,-4,-1,4,1,-1,-4,-1,-1,-1,11,-1,1,-1,1,4,-1,1;4,-1,4,-1,1,-1,-4,-4,-1,1,-1,1,1,1,-1,11,-1,-4,-1,1,1,-1;1,-4,1,1,-1,-4,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,11,-1,-4,-1,-1,1;-1,-1,-1,-1,1,4,1,1,4,1,-1,1,1,1,-1,-4,-1,11,-1,1,-4,-1;1,1,-4,1,-1,1,4,-1,1,-1,-4,-1,4,-1,1,-1,-4,-1,11,-1,-1,1;4,-1,-1,-1,1,-1,-4,1,4,1,-1,1,1,-4,4,1,-1,1,-1,11,1,-1;-1,4,-1,-1,1,-1,-4,1,-1,1,4,-4,1,-4,-1,1,-1,-4,-1,1,11,4;-4,1,-4,-4,-1,-4,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,4,11]; \\ Dimension 22. [476837158203125,[100,11],[1100,3],[5^21.1]] \\ |Aut| = 177408000 = 2^11.3^2.5^3.7.11 Transitive, rank 3 ** Aut = 2.HS.2 ** \\ STREUT (perf=78), dual: EXTREME and STREUT ; Aut transitive on S and S^* \\ Pairwise scalar products of pairs on non-proportional minimal vectors \\ are equal to +-1 (3850 times) or +-4 (1100 times). \\ 3 orbits of the fixator of S[,1] on S ([1,77,22]) ==> symmetric graph \\ M11_22_even: [1907348632812500,[1100,14],[352,5],[10^2.5^19.1]] \\ Same automorphism group, transitive on S and S^* ; \\ {M11_2}2_even: EXTREME and STREUT \\ (M11_22_even)^* STREUT (perf=176) \\ \\ =========================================================================== \\ PART 2 LATTICES of MINIMUM 10 \\ =========================================================================== \\ \\ M10_23. CONSTRUCTION. The dual of Qc23, scaled to minimum 10 \\ Dimension 23. M10_23=[10,4,5,5,-5,4,-4,-4,5,4,4,-5,4,5,5,4,5,-2,-5,-4,4,-5,4;4,10,5,5,-5,4,-4,-4,5,4,4,-5,4,5,2,4,5,-5,-2,-4,4,-5,4;5,5,10,4,-4,5,-5,-5,4,2,5,-4,5,4,4,5,4,-4,-4,-2,5,-4,5;5,5,4,10,-4,5,-5,-5,4,2,2,-4,2,4,4,5,4,-4,-4,-5,5,-4,5;-5,-5,-4,-4,10,-5,5,5,-4,-5,-2,4,-5,-4,-1,-2,-4,4,4,5,-2,4,-2;4,4,5,5,-5,10,-4,-4,5,4,4,-5,4,5,5,4,2,-2,-2,-4,4,-2,4;-4,-4,-5,-5,5,-4,10,4,-5,-1,-4,5,-4,-5,-2,-4,-2,5,5,4,-4,2,-4;-4,-4,-5,-5,5,-4,4,10,-5,-4,-4,5,-4,-5,-5,-4,-5,5,5,4,-1,5,-4;5,5,4,4,-4,5,-5,-5,10,5,5,-4,5,4,4,2,4,-4,-4,-5,5,-4,5;4,4,2,2,-5,4,-1,-4,5,10,4,-2,4,5,5,4,5,-2,-5,-4,4,-5,1;4,4,5,2,-2,4,-4,-4,5,4,10,-2,4,5,5,4,5,-5,-5,-4,4,-2,4;-5,-5,-4,-4,4,-5,5,5,-4,-2,-2,10,-2,-4,-4,-2,-1,4,1,2,-2,4,-5;4,4,5,2,-5,4,-4,-4,5,4,4,-2,10,2,5,4,5,-5,-5,-4,4,-2,4;5,5,4,4,-4,5,-5,-5,4,5,5,-4,2,10,4,5,4,-1,-4,-2,2,-4,2;5,2,4,4,-1,5,-2,-5,4,5,5,-4,5,4,10,5,4,-4,-4,-2,5,-4,5;4,4,5,5,-2,4,-4,-4,2,4,4,-2,4,5,5,10,5,-2,-5,-4,4,-2,1;5,5,4,4,-4,2,-2,-5,4,5,5,-1,5,4,4,5,10,-4,-4,-5,2,-4,2;-2,-5,-4,-4,4,-2,5,5,-4,-2,-5,4,-5,-1,-4,-2,-4,10,4,5,-5,4,-5;-5,-2,-4,-4,4,-2,5,5,-4,-5,-5,1,-5,-4,-4,-5,-4,4,10,5,-5,4,-2;-4,-4,-2,-5,5,-4,4,4,-5,-4,-4,2,-4,-2,-2,-4,-5,5,5,10,-4,2,-1;4,4,5,5,-2,4,-4,-1,5,4,4,-2,4,2,5,4,2,-5,-5,-4,10,-5,4;-5,-5,-4,-4,4,-2,2,5,-4,-5,-2,4,-2,-4,-4,-2,-4,4,4,2,-5,10,-2;4,4,5,5,-2,4,-4,-4,5,1,4,-5,4,2,5,1,2,-5,-2,-1,4,-2,10]; \\ [62762119218,[11178,10],[276,5],[6.1^21.1]] \\ |Aut| = 991533312000 = 2^11.3^7.5^3.7.11.23 Aut =2 X Co3 \\ Transitive on S and S^*, rank 5 on S, rank 3 on S^* \\ M10_23 and M10_23^* are STRONGLY PERFECT \\ \\ Suppress in M10_23 the 11-th row and column (sensest section): M10_22=[10,4,5,5,-5,4,-4,-4,5,4,-5,4,5,5,4,5,-2,-5,-4,4,-5,4;4,10,5,5,-5,4,-4,-4,5,4,-5,4,5,2,4,5,-5,-2,-4,4,-5,4;5,5,10,4,-4,5,-5,-5,4,2,-4,5,4,4,5,4,-4,-4,-2,5,-4,5;5,5,4,10,-4,5,-5,-5,4,2,-4,2,4,4,5,4,-4,-4,-5,5,-4,5;-5,-5,-4,-4,10,-5,5,5,-4,-5,4,-5,-4,-1,-2,-4,4,4,5,-2,4,-2;4,4,5,5,-5,10,-4,-4,5,4,-5,4,5,5,4,2,-2,-2,-4,4,-2,4;-4,-4,-5,-5,5,-4,10,4,-5,-1,5,-4,-5,-2,-4,-2,5,5,4,-4,2,-4;-4,-4,-5,-5,5,-4,4,10,-5,-4,5,-4,-5,-5,-4,-5,5,5,4,-1,5,-4;5,5,4,4,-4,5,-5,-5,10,5,-4,5,4,4,2,4,-4,-4,-5,5,-4,5;4,4,2,2,-5,4,-1,-4,5,10,-2,4,5,5,4,5,-2,-5,-4,4,-5,1;-5,-5,-4,-4,4,-5,5,5,-4,-2,10,-2,-4,-4,-2,-1,4,1,2,-2,4,-5;4,4,5,2,-5,4,-4,-4,5,4,-2,10,2,5,4,5,-5,-5,-4,4,-2,4;5,5,4,4,-4,5,-5,-5,4,5,-4,2,10,4,5,4,-1,-4,-2,2,-4,2;5,2,4,4,-1,5,-2,-5,4,5,-4,5,4,10,5,4,-4,-4,-2,5,-4,5;4,4,5,5,-2,4,-4,-4,2,4,-2,4,5,5,10,5,-2,-5,-4,4,-2,1;5,5,4,4,-4,2,-2,-5,4,5,-1,5,4,4,5,10,-4,-4,-5,2,-4,2;-2,-5,-4,-4,4,-2,5,5,-4,-2,4,-5,-1,-4,-2,-4,10,4,5,-5,4,-5;-5,-2,-4,-4,4,-2,5,5,-4,-5,1,-5,-4,-4,-5,-4,4,10,5,-5,4,-2;-4,-4,-2,-5,5,-4,4,4,-5,-4,2,-4,-2,-2,-4,-5,5,5,10,-4,2,-1;4,4,5,5,-2,4,-4,-1,5,4,-2,4,2,5,4,2,-5,-5,-4,10,-5,4;-5,-5,-4,-4,4,-2,2,5,-4,-5,4,-2,-4,-4,-2,-4,4,4,2,-5,10,-2;4,4,5,5,-2,4,-4,-4,5,1,-5,4,2,5,1,2,-5,-2,-1,4,-2,10]; \\ [52301766015,[7128,10],[275,12],[15.3^20.1]] \\ |Aut| = 3592512000 = 2^9.3^6.5^3.7.11 \\ Transitive on S and S^*, rank 5 on S, rank 3 on S^* \\ M10_22 and M10_22^* are STRONGLY PERFECT \\ Nb of scalar products with S[,1]: 0,3500,2625,0,750,252, \\ each being an orbit \\ \\ Densest section of M10_22: M10_21=[10,5,4,5,4,-2,4,-2,-2,-4,4,4,-4,5,4,4,-5,-5,2,4,-4;5,10,5,4,5,-4,2,2,2,-2,-1,-1,-2,4,5,5,-1,-4,-2,2,1;4,5,10,5,1,1,-2,-2,-2,2,-2,1,-4,-1,1,1,-2,1,-4,1,-4;5,4,5,10,5,2,2,2,2,-2,-1,2,-5,1,5,-1,-4,-1,-2,5,-2;4,5,1,5,10,1,1,1,4,-1,1,-2,-4,2,4,1,-2,-5,-1,1,2;-2,-4,1,2,1,10,-2,-2,1,5,-2,-2,-4,-4,-2,-2,-2,1,-4,1,-1;4,2,-2,2,1,-2,10,4,-2,-4,4,4,2,2,4,1,-5,-5,5,4,2;-2,2,-2,2,1,-2,4,10,4,-4,-2,-2,2,-1,1,-2,1,1,2,1,5;-2,2,-2,2,4,1,-2,4,10,-1,-5,-5,-1,2,1,1,4,1,-1,1,5;-4,-2,2,-2,-1,5,-4,-4,-1,10,-4,-1,-2,-5,-1,-1,2,2,-5,-1,-2;4,-1,-2,-1,1,-2,4,-2,-5,-4,10,4,2,2,1,1,-5,-5,5,-2,-1;4,-1,1,2,-2,-2,4,-2,-5,-1,4,10,-1,2,4,1,-2,-2,2,4,-4;-4,-2,-4,-5,-4,-4,2,2,-1,-2,2,-1,10,-2,-1,-1,2,2,4,-4,4;5,4,-1,1,2,-4,2,-1,2,-5,2,2,-2,10,2,5,-1,-4,1,2,1;4,5,1,5,4,-2,4,1,1,-1,1,4,-1,2,10,4,-2,-5,-1,4,-1;4,5,1,-1,1,-2,1,-2,1,-1,1,1,-1,5,4,10,1,-5,-1,1,-1;-5,-1,-2,-4,-2,-2,-5,1,4,2,-5,-2,2,-1,-2,1,10,4,-1,-2,2;-5,-4,1,-1,-5,1,-5,1,1,2,-5,-2,2,-4,-5,-5,4,10,-1,-2,-1;2,-2,-4,-2,-1,-4,5,2,-1,-5,5,2,4,1,-1,-1,-1,-1,10,-1,1;4,2,1,5,1,1,4,1,1,-1,-2,4,-4,2,4,1,-2,-2,-1,10,-1;-4,1,-4,-2,2,-1,2,5,5,-2,-1,-4,4,1,-1,-1,2,-1,1,-1,10]; \\ \\ [41841412812,[4536,10],[112,27],[36.3^19.1]] |Aut| = 26127360 = 2^10.3^5.5.7 \\ Transitive on S and S^* rank 13 on S, rank 3 on S^* \\ EXTREME and STREUT, dual STREUT (perf=91) \\ Suppress in M10_21 the last row and column: M10_20=[10,5,4,5,4,-2,4,-2,-2,-4,4,4,-4,5,4,4,-5,-5,2,4;5,10,5,4,5,-4,2,2,2,-2,-1,-1,-2,4,5,5,-1,-4,-2,2;4,5,10,5,1,1,-2,-2,-2,2,-2,1,-4,-1,1,1,-2,1,-4,1;5,4,5,10,5,2,2,2,2,-2,-1,2,-5,1,5,-1,-4,-1,-2,5;4,5,1,5,10,1,1,1,4,-1,1,-2,-4,2,4,1,-2,-5,-1,1;-2,-4,1,2,1,10,-2,-2,1,5,-2,-2,-4,-4,-2,-2,-2,1,-4,1;4,2,-2,2,1,-2,10,4,-2,-4,4,4,2,2,4,1,-5,-5,5,4;-2,2,-2,2,1,-2,4,10,4,-4,-2,-2,2,-1,1,-2,1,1,2,1;-2,2,-2,2,4,1,-2,4,10,-1,-5,-5,-1,2,1,1,4,1,-1,1;-4,-2,2,-2,-1,5,-4,-4,-1,10,-4,-1,-2,-5,-1,-1,2,2,-5,-1;4,-1,-2,-1,1,-2,4,-2,-5,-4,10,4,2,2,1,1,-5,-5,5,-2;4,-1,1,2,-2,-2,4,-2,-5,-1,4,10,-1,2,4,1,-2,-2,2,4;-4,-2,-4,-5,-4,-4,2,2,-1,-2,2,-1,10,-2,-1,-1,2,2,4,-4;5,4,-1,1,2,-4,2,-1,2,-5,2,2,-2,10,2,5,-1,-4,1,2;4,5,1,5,4,-2,4,1,1,-1,1,4,-1,2,10,4,-2,-5,-1,4;4,5,1,-1,1,-2,1,-2,1,-1,1,1,-1,5,4,10,1,-5,-1,1;-5,-1,-2,-4,-2,-2,-5,1,4,2,-5,-2,2,-1,-2,1,10,4,-1,-2;-5,-4,1,-1,-5,1,-5,1,1,2,-5,-2,2,-4,-5,-5,4,10,-1,-2;2,-2,-4,-2,-1,-4,5,2,-1,-5,5,2,4,1,-1,-1,-1,-1,10,-1;4,2,1,5,1,1,4,1,1,-1,-2,4,-4,2,4,1,-2,-2,-1,10]; \\ [31381059609,[2916,10],[30,18],[27.9.3^17.1]] |Aut| = 699840 = 2^6.3^7.5 \\ Transitive on S and S^* rank 36 on S, rank 3 on S^* \\ EXTREME and STREUT, dual STREUT (perf=30) \\ Suppress in M10_20 the last row and column: M10_19=[10,5,4,5,4,-2,4,-2,-2,-4,4,4,-4,5,4,4,-5,-5,2;5,10,5,4,5,-4,2,2,2,-2,-1,-1,-2,4,5,5,-1,-4,-2;4,5,10,5,1,1,-2,-2,-2,2,-2,1,-4,-1,1,1,-2,1,-4;5,4,5,10,5,2,2,2,2,-2,-1,2,-5,1,5,-1,-4,-1,-2;4,5,1,5,10,1,1,1,4,-1,1,-2,-4,2,4,1,-2,-5,-1;-2,-4,1,2,1,10,-2,-2,1,5,-2,-2,-4,-4,-2,-2,-2,1,-4;4,2,-2,2,1,-2,10,4,-2,-4,4,4,2,2,4,1,-5,-5,5;-2,2,-2,2,1,-2,4,10,4,-4,-2,-2,2,-1,1,-2,1,1,2;-2,2,-2,2,4,1,-2,4,10,-1,-5,-5,-1,2,1,1,4,1,-1;-4,-2,2,-2,-1,5,-4,-4,-1,10,-4,-1,-2,-5,-1,-1,2,2,-5;4,-1,-2,-1,1,-2,4,-2,-5,-4,10,4,2,2,1,1,-5,-5,5;4,-1,1,2,-2,-2,4,-2,-5,-1,4,10,-1,2,4,1,-2,-2,2;-4,-2,-4,-5,-4,-4,2,2,-1,-2,2,-1,10,-2,-1,-1,2,2,4;5,4,-1,1,2,-4,2,-1,2,-5,2,2,-2,10,2,5,-1,-4,1;4,5,1,5,4,-2,4,1,1,-1,1,4,-1,2,10,4,-2,-5,-1;4,5,1,-1,1,-2,1,-2,1,-1,1,1,-1,5,4,10,1,-5,-1;-5,-1,-2,-4,-2,-2,-5,1,4,2,-5,-2,2,-1,-2,1,10,4,-1;-5,-4,1,-1,-5,1,-5,1,1,2,-5,-2,2,-4,-5,-5,4,10,-1;2,-2,-4,-2,-1,-4,5,2,-1,-5,5,2,4,1,-1,-1,-1,-1,10]; \\ [20920706406,[1944,10],[1,9],[18.9^2.3^15.1]] |Aut| = 93312 = 2^7.3^6 \\ 2 orbits on S (486+1458) M10_19 EXTREME \\ Densest section of M10_19: M10_18=[10,5,-5,4,4,-5,4,4,4,2,-4,-4,2,5,4,4,-2,-4;5,10,-4,5,5,-1,5,2,5,-2,1,-5,-2,4,5,5,2,1;-5,-4,10,-5,-5,4,1,-5,-5,2,-1,5,2,-1,-2,-2,-2,-1;4,5,-5,10,1,-5,1,4,4,-4,2,-4,-4,5,1,1,1,-1;4,5,-5,1,10,1,1,4,1,2,2,-1,2,-1,1,1,4,2;-5,-1,4,-5,1,10,1,-5,-2,-1,2,5,2,-4,-2,1,4,2;4,5,1,1,1,1,10,1,4,-1,-1,-1,-1,2,1,4,-2,-4;4,2,-5,4,4,-5,1,10,4,2,-1,-1,-1,-1,-2,1,-2,-1;4,5,-5,4,1,-2,4,4,10,-1,-1,-4,-4,2,1,4,-2,-1;2,-2,2,-4,2,-1,-1,2,-1,10,-2,1,4,-2,-1,-1,-4,-2;-4,1,-1,2,2,2,-1,-1,-1,-2,10,-2,-2,-2,-1,-4,5,4;-4,-5,5,-4,-1,5,-1,-1,-4,1,-2,10,1,-5,-4,-1,-1,-2;2,-2,2,-4,2,2,-1,-1,-4,4,-2,1,10,1,2,-1,2,1;5,4,-1,5,-1,-4,2,-1,2,-2,-2,-5,1,10,5,2,-1,-2;4,5,-2,1,1,-2,1,-2,1,-1,-1,-4,2,5,10,4,1,2;4,5,-2,1,1,1,4,1,4,-1,-4,-1,-1,2,4,10,-2,-1;-2,2,-2,1,4,4,-2,-2,-2,-4,5,-1,2,-1,1,-2,10,5;-4,1,-1,-1,2,2,-4,-1,-1,-2,4,-2,1,-2,2,-1,5,10]; \\ [10460353203,[1458,10],[270,6],[9^4.3^13.1]] |Aut| = 1399680 = 2^7.3^7.5 \\ Transitive on S and S^* rank 17 on S, rank 5 on S^* \\ M10_18 and M10_18^* EXTREME and STREUT \\ Suppress in M10_18 the last row and column: M10_17=[10,5,-5,4,4,-5,4,4,4,2,-4,-4,2,5,4,4,-2;5,10,-4,5,5,-1,5,2,5,-2,1,-5,-2,4,5,5,2;-5,-4,10,-5,-5,4,1,-5,-5,2,-1,5,2,-1,-2,-2,-2;4,5,-5,10,1,-5,1,4,4,-4,2,-4,-4,5,1,1,1;4,5,-5,1,10,1,1,4,1,2,2,-1,2,-1,1,1,4;-5,-1,4,-5,1,10,1,-5,-2,-1,2,5,2,-4,-2,1,4;4,5,1,1,1,1,10,1,4,-1,-1,-1,-1,2,1,4,-2;4,2,-5,4,4,-5,1,10,4,2,-1,-1,-1,-1,-2,1,-2;4,5,-5,4,1,-2,4,4,10,-1,-1,-4,-4,2,1,4,-2;2,-2,2,-4,2,-1,-1,2,-1,10,-2,1,4,-2,-1,-1,-4;-4,1,-1,2,2,2,-1,-1,-1,-2,10,-2,-2,-2,-1,-4,5;-4,-5,5,-4,-1,5,-1,-1,-4,1,-2,10,1,-5,-4,-1,-1;2,-2,2,-4,2,2,-1,-1,-4,4,-2,1,10,1,2,-1,2;5,4,-1,5,-1,-4,2,-1,2,-2,-2,-5,1,10,5,2,-1;4,5,-2,1,1,-2,1,-2,1,-1,-1,-4,2,5,10,4,1;4,5,-2,1,1,1,4,1,4,-1,-4,-1,-1,2,4,10,-2;-2,2,-2,1,4,4,-2,-2,-2,-4,5,-1,2,-1,1,-2,10]; \\ [6973568802,[918,10],[1,27],[54.9^2.3^13.1.]] |Aut| = 5184 = 2^6.3^4 \\ 3 orbits on S (648+54+216) \\ EXTREME and STREUT \\ \\ Densest section of M10_17: M10_16=[10,5,4,-5,-5,-4,4,-2,-4,-2,4,-1,4,-4,4,5;5,10,5,-1,-4,-5,-1,2,-2,2,-1,-2,-1,1,-1,1;4,5,10,1,-5,-1,1,-2,-1,-2,1,-4,-2,-1,4,-1;-5,-1,1,10,4,5,-5,-2,-1,4,-2,2,-2,2,1,-4;-5,-4,-5,4,10,5,-5,-2,-1,1,1,5,-2,2,-2,-4;-4,-5,-1,5,5,10,-4,-1,-2,2,-1,4,-1,-2,2,-2;4,-1,1,-5,-5,-4,10,1,-1,-2,4,-1,4,-4,4,2;-2,2,-2,-2,-2,-1,1,10,-1,4,-5,2,-2,2,-2,-1;-4,-2,-1,-1,-1,-2,-1,-1,10,-4,-1,-5,-1,4,-4,-2;-2,2,-2,4,1,2,-2,4,-4,10,-5,2,1,-1,-2,-1;4,-1,1,-2,1,-1,4,-5,-1,-5,10,2,4,-4,4,2;-1,-2,-4,2,5,4,-1,2,-5,2,2,10,2,-2,2,1;4,-1,-2,-2,-2,-1,4,-2,-1,1,4,2,10,-4,1,5;-4,1,-1,2,2,-2,-4,2,4,-1,-4,-2,-4,10,-4,-5;4,-1,4,1,-2,2,4,-2,-4,-2,4,2,1,-4,10,2;5,1,-1,-4,-4,-2,2,-1,-2,-1,2,1,5,-5,2,10]; \\ [3486784401,[648,10],[243,16],[27.9^3.3^11.1]] |Aut| = 46656 = 2^6.3^6 \\ Transiive on S and S^* rank 34 on S, 10 on S^* \\ EXTREME and STREUT, dual STREUT (perf=129) \\ \\ Suppress in M10_16 the last row and column: M10_15=[10,5,4,-5,-5,-4,4,-2,-4,-2,4,-1,4,-4,4;5,10,5,-1,-4,-5,-1,2,-2,2,-1,-2,-1,1,-1;4,5,10,1,-5,-1,1,-2,-1,-2,1,-4,-2,-1,4;-5,-1,1,10,4,5,-5,-2,-1,4,-2,2,-2,2,1;-5,-4,-5,4,10,5,-5,-2,-1,1,1,5,-2,2,-2;-4,-5,-1,5,5,10,-4,-1,-2,2,-1,4,-1,-2,2;4,-1,1,-5,-5,-4,10,1,-1,-2,4,-1,4,-4,4;-2,2,-2,-2,-2,-1,1,10,-1,4,-5,2,-2,2,-2;-4,-2,-1,-1,-1,-2,-1,-1,10,-4,-1,-5,-1,4,-4;-2,2,-2,4,1,2,-2,4,-4,10,-5,2,1,-1,-2;4,-1,1,-2,1,-1,4,-5,-1,-5,10,2,4,-4,4;-1,-2,-4,2,5,4,-1,2,-5,2,2,10,2,-2,2;4,-1,-2,-2,-2,-1,4,-2,-1,1,4,2,10,-4,1;-4,1,-1,2,2,-2,-4,2,4,-1,-4,-2,-4,10,-4;4,-1,4,1,-2,2,4,-2,-4,-2,4,2,1,-4,10]; \\ [2066242608,[408,10],[3,64],[144.9^2.3^11.1]] |Aut| = 192 = 2^6.3 \\ 8 orbits on S, 1 orbit on S^* ~ Z^3 EXTREME \\ \\ Suppress in M10_15 the last row and column: M10_14=[10,5,4,-5,-5,-4,4,-2,-4,-2,4,-1,4,-4;5,10,5,-1,-4,-5,-1,2,-2,2,-1,-2,-1,1;4,5,10,1,-5,-1,1,-2,-1,-2,1,-4,-2,-1;-5,-1,1,10,4,5,-5,-2,-1,4,-2,2,-2,2;-5,-4,-5,4,10,5,-5,-2,-1,1,1,5,-2,2;-4,-5,-1,5,5,10,-4,-1,-2,2,-1,4,-1,-2;4,-1,1,-5,-5,-4,10,1,-1,-2,4,-1,4,-4;-2,2,-2,-2,-2,-1,1,10,-1,4,-5,2,-2,2;-4,-2,-1,-1,-1,-2,-1,-1,10,-4,-1,-5,-1,4;-2,2,-2,4,1,2,-2,4,-4,10,-5,2,1,-1;4,-1,1,-2,1,-1,4,-5,-1,-5,10,2,4,-4;-1,-2,-4,2,5,4,-1,2,-5,2,2,10,2,-2;4,-1,-2,-2,-2,-1,4,-2,-1,1,4,2,10,-4;-4,1,-1,2,2,-2,-4,2,4,-1,-4,-2,-4,10]; \\ [918330048,[288,10],[6,32],[72^2.3^11.1]] |Aut| = 384 = 2^7.3 \\ 4 orbits on S (96*2+48*2=288), 1 orbit on S^* (ramk S^*=4) \\ EXTREME \\ \\ =========================================================================== \\ PART 3 LATTICES of MINIMUM 12 \\ =========================================================================== \\ \\ M12_22. The projection of Qc23 in Min5.gp along a minimal vector, \\ or the dual of M10_22, rescaled to minimum 12, \\ in a basis of minimal vectors M12_22=[12,3,2,-3,2,3,-3,-2,2,3,-2,-2,-2,2,-2,-2,-3,-2,-2,-2,2,-2;3,12,3,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,2,-3,3,-3,-3,-2,-3,-3,2,-2,-3;2,3,12,2,2,3,-3,3,2,3,-2,-2,3,2,3,-2,-3,3,-2,-2,2,-2;-3,-2,2,12,-3,3,2,-2,-3,3,-2,-2,3,-3,3,-2,-3,3,-2,-2,-3,3;2,-2,2,-3,12,3,-3,-2,2,-2,3,-2,-2,-3,-2,3,2,3,3,3,2,-2;3,2,3,3,3,12,3,2,3,2,-3,2,-3,-2,-3,-3,-2,2,2,-3,3,-3;-3,3,-3,2,-3,3,12,-2,2,-2,-2,3,-2,-3,-2,-2,-3,-2,-2,-2,-3,3;-2,2,3,-2,-2,2,-2,12,3,2,2,2,-3,3,2,2,3,2,2,2,3,-3;2,-2,2,-3,2,3,2,3,12,-2,3,-2,-2,2,-2,3,2,3,3,-2,2,3;3,2,3,3,-2,2,-2,2,-2,12,-3,2,2,3,2,-3,-2,2,2,2,3,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,12,-3,-3,3,2,2,3,2,2,2,-2,2;-2,2,-2,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,12,-3,-2,2,-3,-2,-3,2,2,-2,-3;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,-3,-2,2,-3,-3,12,3,2,-3,-2,2,2,-3,3,2;2,3,2,-3,-3,-2,-3,3,2,3,3,-2,3,12,-2,-2,2,-2,3,-2,2,-2;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,2,-2,2,2,2,2,-2,12,-3,-2,2,-3,2,-2,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,2,-3,-3,-2,-3,12,3,2,2,2,-2,2;-3,-2,-3,-3,2,-2,-3,3,2,-2,3,-2,-2,2,-2,3,12,3,3,3,2,-2;-2,-3,3,3,3,2,-2,2,3,2,2,-3,2,-2,2,2,3,12,2,2,3,2;-2,-3,-2,-2,3,2,-2,2,3,2,2,2,2,3,-3,2,3,2,12,2,3,2;-2,2,-2,-2,3,-3,-2,2,-2,2,2,2,-3,-2,2,2,3,2,2,12,-2,2;2,-2,2,-3,2,3,-3,3,2,3,-2,-2,3,2,-2,-2,2,3,3,-2,12,-2;-2,-3,-2,3,-2,-3,3,-3,3,2,2,-3,2,-2,2,2,-2,2,2,2,-2,12]; \\ [1430511474609375,[275,12],[7128,10],[15.5^20.1]] \\ |Aut| = 3592512000 = 2^9.3^6.5^3.7.11 ** Aut = 2 X McL.2 \\ Transitive on S and S^*, rank 3 on S (suborbits: 1+162+112), rank 5 on S^* \\ M12_22 and M12_22^* are STRONGLY PERFECT \\ Scalar products between minimal vectors : +- 2,3 \\ \\ M12_21. Suppress in M12_22 the 15-th row and column (or projection of Qc22) M12_21=[12,3,2,-3,2,3,-3,-2,2,3,-2,-2,-2,2,-2,-2,-3,-2,-2,-2,-2;3,12,3,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,2,-3,3,-3,-3,-2,-3,-3,2,-3;2,3,12,2,2,3,-3,3,2,3,-2,-2,3,2,3,-2,-3,3,-2,-2,-2;-3,-2,2,12,-3,3,2,-2,-3,3,-2,-2,3,-3,3,-2,-3,3,-2,-2,3;2,-2,2,-3,12,3,-3,-2,2,-2,3,-2,-2,-3,-2,3,2,3,3,3,-2;3,2,3,3,3,12,3,2,3,2,-3,2,-3,-2,-3,-3,-2,2,2,-3,-3;-3,3,-3,2,-3,3,12,-2,2,-2,-2,3,-2,-3,-2,-2,-3,-2,-2,-2,3;-2,2,3,-2,-2,2,-2,12,3,2,2,2,-3,3,2,2,3,2,2,2,-3;2,-2,2,-3,2,3,2,3,12,-2,3,-2,-2,2,-2,3,2,3,3,-2,3;3,2,3,3,-2,2,-2,2,-2,12,-3,2,2,3,2,-3,-2,2,2,2,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,12,-3,-3,3,2,2,3,2,2,2,2;-2,2,-2,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,12,-3,-2,2,-3,-2,-3,2,2,-3;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,-3,-2,2,-3,-3,12,3,2,-3,-2,2,2,-3,2;2,3,2,-3,-3,-2,-3,3,2,3,3,-2,3,12,-2,-2,2,-2,3,-2,-2;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,2,-2,2,2,2,2,-2,12,-3,-2,2,-3,2,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,2,-3,-3,-2,-3,12,3,2,2,2,2;-3,-2,-3,-3,2,-2,-3,3,2,-2,3,-2,-2,2,-2,3,12,3,3,3,-2;-2,-3,3,3,3,2,-2,2,3,2,2,-3,2,-2,2,2,3,12,2,2,2;-2,-3,-2,-2,3,2,-2,2,3,2,2,2,2,3,-3,2,3,2,12,2,2;-2,2,-2,-2,3,-3,-2,2,-2,2,2,2,-3,-2,2,2,3,2,2,12,2;-2,-3,-2,3,-2,-3,3,-3,3,2,2,-3,2,-2,2,2,-2,2,2,2,12]; \\ [953674316406250,[175,12],[126,25],[50.5^19.1]] \\ |Aut| = 3504000 = 2^6.3^2.5^3.7 \\ Transitive on S and S^*, rank 4 on S, rank 2 on S^* (2-fold transitive) \\ NOTE. S(M12_21^*) generates a lattice of index 5 in M12_21^*, with Carac \\ [26214400,[126,5],[525,12],[10^2.2^18.1]] and |Aut| three times larger \\ This is Qc21. \\ By duality, we obtain an EXTREME and STREUT lattice M12_21a of minimum 12, \\ having 525 pairs of minimal vectors, dual to Qc21. \\ \\ Suppress in M12_21 the 18th row and column ( or projection of Qc21) M12_20=[12,3,2,-3,2,3,-3,-2,2,3,-2,-2,-2,2,-2,-2,-3,-2,-2,-2;3,12,3,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,2,-3,3,-3,-3,-2,-3,2,-3;2,3,12,2,2,3,-3,3,2,3,-2,-2,3,2,3,-2,-3,-2,-2,-2;-3,-2,2,12,-3,3,2,-2,-3,3,-2,-2,3,-3,3,-2,-3,-2,-2,3;2,-2,2,-3,12,3,-3,-2,2,-2,3,-2,-2,-3,-2,3,2,3,3,-2;3,2,3,3,3,12,3,2,3,2,-3,2,-3,-2,-3,-3,-2,2,-3,-3;-3,3,-3,2,-3,3,12,-2,2,-2,-2,3,-2,-3,-2,-2,-3,-2,-2,3;-2,2,3,-2,-2,2,-2,12,3,2,2,2,-3,3,2,2,3,2,2,-3;2,-2,2,-3,2,3,2,3,12,-2,3,-2,-2,2,-2,3,2,3,-2,3;3,2,3,3,-2,2,-2,2,-2,12,-3,2,2,3,2,-3,-2,2,2,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,12,-3,-3,3,2,2,3,2,2,2;-2,2,-2,-2,-2,2,3,2,-2,2,-3,12,-3,-2,2,-3,-2,2,2,-3;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,-3,-2,2,-3,-3,12,3,2,-3,-2,2,-3,2;2,3,2,-3,-3,-2,-3,3,2,3,3,-2,3,12,-2,-2,2,3,-2,-2;-2,-3,3,3,-2,-3,-2,2,-2,2,2,2,2,-2,12,-3,-2,-3,2,2;-2,-3,-2,-2,3,-3,-2,2,3,-3,2,-3,-3,-2,-3,12,3,2,2,2;-3,-2,-3,-3,2,-2,-3,3,2,-2,3,-2,-2,2,-2,3,12,3,3,-2;-2,-3,-2,-2,3,2,-2,2,3,2,2,2,2,3,-3,2,3,12,2,2;-2,2,-2,-2,3,-3,-2,2,-2,2,2,2,-3,-2,2,2,3,2,12,2;-2,-3,-2,3,-2,-3,3,-3,3,2,2,-3,2,-2,2,2,-2,2,2,12]; \\ [476837158203125,[125,12],[375,12],[25^2.5^17.1]] |Aut| = 12000 = 2^5.3.5^3 \\ Transitive on S and S^*, perf=125, rank 5 on S STREUT \\ \\ Dual of M12_20: M12_20d=[12,6,4,4,3,1,4,-2,1,-4,-1,-1,1,-6,1,4,2,1,-1,4;6,12,6,1,-1,4,1,-1,2,2,3,3,-3,-2,-3,3,1,2,3,1;4,6,12,2,-4,-2,2,1,1,-4,4,-1,-4,-1,-4,-1,-1,1,-1,-3;4,1,2,12,1,-2,2,1,-4,-4,4,-1,1,-1,1,4,-6,6,-6,2;3,-1,-4,1,12,-1,-4,-3,-1,-1,-4,-4,-1,1,-1,6,3,4,1,6;1,4,-2,-2,-1,12,-2,4,-1,4,1,1,4,-4,-1,1,1,-1,1,3;4,1,2,2,-4,-2,12,-4,1,-4,-1,4,1,-1,6,-1,-1,-4,-1,2;-2,-1,1,1,-3,4,-4,12,-1,-1,1,1,-1,-4,-1,1,-2,-1,-4,-4;1,2,1,-4,-1,-1,1,-1,12,-3,-2,-2,-3,-2,2,-2,6,-3,3,-4;-4,2,-4,-4,-1,4,-4,-1,-3,12,3,3,2,3,-3,-2,1,-3,3,1;-1,3,4,4,-4,1,-1,1,-2,3,12,2,-2,2,-2,-3,-1,3,-3,-1;-1,3,-1,-1,-4,1,4,1,-2,3,2,12,-2,2,3,2,-1,-2,2,-1;1,-3,-4,1,-1,4,1,-1,-3,2,-2,-2,12,-2,2,-2,1,-3,-2,1;-6,-2,-1,-1,1,-4,-1,-4,-2,3,2,2,-2,12,-2,-3,-1,3,2,-1;1,-3,-4,1,-1,-1,6,-1,2,-3,-2,3,2,-2,12,3,1,-3,-2,1;4,3,-1,4,6,1,-1,1,-2,-2,-3,2,-2,-3,3,12,-1,3,2,4;2,1,-1,-6,3,1,-1,-2,6,1,-1,-1,1,-1,1,-1,12,-4,4,-1;1,2,1,6,4,-1,-4,-1,-3,-3,3,-2,-3,3,-3,3,-4,12,-2,1;-1,3,-1,-6,1,1,-1,-4,3,3,-3,2,-2,2,-2,2,4,-2,12,-1;4,1,-3,2,6,3,2,-4,-4,1,-1,-1,1,-1,1,4,-1,1,-1,12]; \\ [19073486328125,[375,12],[125,12],[25.5^17.1^2]] |Aut| = 12000 = 2^5.3.5^3 \\ Transitive on S and S^*, perf=dualperf=209, STREUT \\ \\ Suppressing 19th row and column in M12_20 yields \\ a non-weakly eutactic lattice with s=89 \\ Suppressing 17th row and column in M12_20d yields \\ yields a weakly eutactic lattice with s=267 and perf=208 \\ \\ =========================================================================== \\ PART 4 LATTICES of MINIMUM 9 \\ =========================================================================== \\ \\ Constructions of M9_21. (1) Consider the lattice M10_21 in this file. \\ Its dual contains to index 2 its sublattice generated by its minimal \\ vectors. Rescaled to minimum 9, this is M9_21. \\ (2) L'_{21}^* contains to index 3 ther span of its minimal vector, ~ M9_21 M9_21=[9,3,1,3,-3,-1,-1,-1,-3,-1,1,-1,-1,3,3,1,-1,1,1,-1,1;3,9,3,1,-1,-3,-3,1,-1,-3,3,1,1,1,-3,3,1,-1,3,-3,-1;1,3,9,3,-3,-1,-1,-1,1,-1,1,3,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1;3,1,3,9,-1,-3,-3,-3,-1,1,-1,-3,1,1,1,3,1,-1,3,1,-1;-3,-1,-3,-1,9,3,3,3,1,-1,-3,-1,-1,-1,-1,1,3,1,1,-1,1;-1,-3,-1,-3,3,9,1,1,-1,1,-1,1,-3,1,1,-1,1,-1,-1,1,3;-1,-3,-1,-3,3,1,9,1,3,1,-1,1,1,-3,1,-1,-3,3,-1,-3,3;-1,1,-1,-3,3,1,1,9,3,1,3,1,1,-3,1,-1,1,-1,-1,1,-1;-3,-1,1,-1,1,-1,3,3,9,-1,1,3,3,-1,-1,1,-1,1,-3,-1,-3;-1,-3,-1,1,-1,1,1,1,-1,9,3,-3,1,-3,1,-1,-3,-1,-1,1,-1;1,3,1,-1,-3,-1,-1,3,1,3,9,-1,3,-1,-1,1,-1,-3,1,-1,-3;-1,1,3,-3,-1,1,1,1,3,-3,-1,9,-3,1,-3,-1,1,3,-1,1,-1;-1,1,-1,1,-1,-3,1,1,3,1,3,-3,9,-3,1,3,-3,-1,-1,-3,-1;3,1,-1,1,-1,1,-3,-3,-1,-3,-1,1,-3,9,1,3,1,-1,-1,1,-1;3,-3,-1,1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-3,1,1,9,-1,-3,-1,-1,1,3;1,3,1,3,1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,3,3,-1,9,-1,1,1,-1,1;-1,1,-1,1,3,1,-3,1,-1,-3,-1,1,-3,1,-3,-1,9,-1,3,1,-1;1,-1,1,-1,1,-1,3,-1,1,-1,-3,3,-1,-1,-1,1,-1,9,-3,-1,1;1,3,1,3,1,-1,-1,-1,-3,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,3,-3,9,-1,1;-1,-3,-1,1,-1,1,-3,1,-1,1,-1,1,-3,1,1,-1,1,-1,-1,9,-1;1,-1,1,-1,1,3,3,-1,-3,-1,-3,-1,-1,-1,3,1,-1,1,1,-1,9]; \\ [9895604649984,[112 9],[1134,8],[12^2.4^18.1]] \\ |Aut| = 52254720 = 2^11.3^6.5.7 Transitive on S and S^* \\ rank 3 (1+30+81) on S, rank 8 on S^* \\ Scalar products on S: +-1, +-3 \\ M9_21 and M9_21^* STREUT, M9_21^* EXTREME \\ \\ densest section (suppressing row and column 20 in M9_21) M9_20=[9,3,1,3,-3,-1,-1,-1,-3,-1,1,-1,-1,3,3,1,-1,1,1,-1;3,9,3,1,-1,-3,-3,1,-1,-3,3,1,1,1,-3,3,1,-1,3,-3;1,3,9,3,-3,-1,-1,-1,1,-1,1,3,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1;3,1,3,9,-1,-3,-3,-3,-1,1,-1,-3,1,1,1,3,1,-1,3,1;-3,-1,-3,-1,9,3,3,3,1,-1,-3,-1,-1,-1,-1,1,3,1,1,-1;-1,-3,-1,-3,3,9,1,1,-1,1,-1,1,-3,1,1,-1,1,-1,-1,1;-1,-3,-1,-3,3,1,9,1,3,1,-1,1,1,-3,1,-1,-3,3,-1,-3;-1,1,-1,-3,3,1,1,9,3,1,3,1,1,-3,1,-1,1,-1,-1,1;-3,-1,1,-1,1,-1,3,3,9,-1,1,3,3,-1,-1,1,-1,1,-3,-1;-1,-3,-1,1,-1,1,1,1,-1,9,3,-3,1,-3,1,-1,-3,-1,-1,1;1,3,1,-1,-3,-1,-1,3,1,3,9,-1,3,-1,-1,1,-1,-3,1,-1;-1,1,3,-3,-1,1,1,1,3,-3,-1,9,-3,1,-3,-1,1,3,-1,1;-1,1,-1,1,-1,-3,1,1,3,1,3,-3,9,-3,1,3,-3,-1,-1,-3;3,1,-1,1,-1,1,-3,-3,-1,-3,-1,1,-3,9,1,3,1,-1,-1,1;3,-3,-1,1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-3,1,1,9,-1,-3,-1,-1,1;1,3,1,3,1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,3,3,-1,9,-1,1,1,-1;-1,1,-1,1,3,1,-3,1,-1,-3,-1,1,-3,1,-3,-1,9,-1,3,1;1,-1,1,-1,1,-1,3,-1,1,-1,-3,3,-1,-1,-1,1,-1,9,-3,-1;1,3,1,3,1,-1,-1,-1,-3,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,3,-3,9,-1;-1,-3,-1,1,-1,1,-3,1,-1,1,-1,1,-3,1,1,-1,1,-1,-1,9]; \\ [6597069766656,[80,9],[15,48],[96.4^18.1]] |Aut| = 46080 = 2^10.3^2.5 \\ Transitive on S and S^* NONE of M9_20, M9_20^* weakly eutactic \\ No strongly regular graph with s=80 \\ \\ *********************** END of FILE *********************** \\