Jacques Martinet  Édition du 25 novembre 2003
Il n’y aura plus de mise à jour après le 05/06/2015  Dernière mise à jour : 5 juin 2015

Erratum au livre Les réseaux parfaits des espaces euclidiens

Note. The english updated edition of the book (Perfect Lattices in Euclidean Spaces) appeared in January, 2003, as the Springer Grundlehren 327.

\underline{Introduction}.

p. 8, l. -9 : celles au lieu de celle p. 9, l. -12 : plus généralement des orbites au lieu de plus généralement des orbies

l. -11 : base au lieu de bases l. -6 : parenthèse à remonter d’une ligne

p. 10, l. -19 : algébrique au lieu de algébriques p. 11, l. -16 : présente au lieu de prśente

\underline{Chapitre I}.

p. 14, l. 8 : r = dim F′ au lieu de r p. 16, l. 7 : x′_{j} au lieu de x′_{i} p. 18, l. 6 : N(p(Λ)) = N(p(x)) au lieu de N(Λ) = N(p(x)) p. 20, l.1 : e_{i}.e_{j} = a_{i,j} au lieu de e_{i}.e_{j} = a_{k,j}

l. 1 de la prop. 3.8 : supprimer “entier”

l. -5 : pΛ^{∗} au lieu de pΛ p. 22, l. 5 : F_{0} au lieu de F

l. 7 : F_{0} au lieu de F, puis Λ au lieu de F. l. 8 : après M_{i}, ajouter , et soit F = ∪F_{i}. l. 13 : 1 ≤ j ≤ c_{i} au lieu de 1 ≤ i ≤ c_{i} ; F′_{i} au lieu de F_{i} l. -18 : N(x) au lieu de N(x)^{2} l. -17 : théorème 4.2 au lieu de théorème 2

p. 24, l. -3 : ∥x_{i+1}∥ ≤ \frac{2}{m}∥x_{i}∥ au lieu de N(x_{i+1}) ≤ \frac{2}{m}N(x_{i})

p. 26, l. 23 : Arf_{Q} = ∑_{i} a_{i}b_{i} … au lieu de Arf_{Q} ∑_{i} a_{i}b_{i} …, ET “)” À FERMER p. 27, l. 2 : l’ordre N de SO(Q) au lieu de l’ordre de N de SO(Q)

l. 5 : N^{∘} = q^{m^{2}}(q^{2m}−1)(q^{2m−2}−1) ⋯ (q^{2}−1) au lieu de N^{∘} = q^{m^{2}}(q^{2m−1})(q^{2m−2}) ⋯ (q^{2}−1)

l. -7 : Pour n impair, comme GL(E) … au lieu de Comme GL(E) … p. 28, l. 1 : après ou, ajouter pour n impair

l. 10 : bilinéaire au lieu de bilibéaire

l. -12 : entre ou encore et avec , ajouter , pour n impair, l. -7 : entre ou encore et par , ajouter , pour n impair, p. 32, l. 15, 16 : base de Λ′. au lieu de base de E, et donc … de Λ′.

l. -17 : n − 3 au lieu de n − r + 3.

p. 33, l. 8: dim_{A/𝔭} 𝔭^{r−1}\overline{M}/𝔭^{r}\overline{M} ≥ m. au lieu de dim_{A/𝔭} \overline{M}^{r}/\overline{M}^{r+1} ≥ m. p. 34, l. 20 : r = dim F au lieu de r = dim M

prop. 9.6 : Λ ∩ F^{⊥} au lieu de M ∩ F^{⊥} p. 35, l. 9 : résulte au lieu de réseulte p. 36, l. Λ par \sqrt{p} (\frac{1}{\sqrt{p}}Λ ∩ Λ^{∗}) au lieu de Λ par Λ ∩ Λ^{∗}

l. -11 : et au lieu de et et p. 37, l. 3 : un réseau de E au lieu de un réseau de 𝔼

l. 10 : y.x_{i} ∈ ℤ au lieu de x.x_{i} ∈ ℤ et x_{j} est dans Λ_{1}^{∗} pour tout j.

au lieu de x est dans Λ_{1}^{∗}.

p. 38, l. 10 : 10.4 au lieu de 10.3, et 10.4↦10.5, 10.5↦10.6,

l. 11 : (⋀^{r}M)^{∗} ↪ ⋀^{r}M^{∗} au lieu de ⋀^{r}M ↪ ⋀^{r}M^{∗}

\underline{Chapitre II}. p. 43 (Voir le futur erratum à l’édition anglaise.) Dans une lettre électronique du 25 novembre 2003, Gabriele Nebe me signale l’erreur de la page 43, l. 9 ci-dessous. p. 41, l. 1 : Si p = p_{F} au lieu de Si p_{F}

l. 2 : det(p_{F} (Λ)) = 0 au lieu de det(p_{F} (Λ) = 0

l. 6 : Δ(Λ) au lieu de det(Λ)

l. 10 : i au lieu de i

l. -16 : N(Λ) au lieu de N(L)

l. -11 : supprimer non nul

l. -9 : N(Λ′) au lieu de N(L′) p. 42, l. 17 : ≤ \frac{1}{2}∥e_{1}∥ au lieu de ≤ \frac{1}{2}N(e_{1}) p. 43, l.1, 2 : On peut supprimer “possédant n vecteurs minimaux indépendants” (utiliser un

argument de déformation comme dans la démonstration du théorème 6.8) l. 9 : ... (\frac{4}{3})^{n(n−1)/2} ... au lieu de ... (\frac{4}{3})^{(n−1)/2} ...

p. 45, l. 5 : famille au lieu de famillle dém. de 4.2 : on a directement N(e_{i}) ≤ (\frac{4}{3})^{n(n−1)/2}m^{−(n−1)} (Collectif de Lausanne) l. -3 : [Λ : Λ′]^{2} au lieu de [L : L′]^{2}

p. 46, l. -19 : Δ(Λ) ≥ γ_{n}^{−n/2}m^{n/2} au lieu de Δ(Λ) ≥ γ_{n}^{n/2}m^{n/2}

l. -13 : discriminant au lieu de déterminant p. 47, l. 8 : a^{1/d} au lieu de a^{−1}

l. 14 : γ_{n,f} = sup_{Λ} γ_{n,f}(Λ) au lieu de γ_{n,f} = sup_{Λ} f(Λ)

l. -10 : γ_{n,f_{u}} = γ_{n,f}/| det(u)|^{d/n} au lieu de γ_{n,f_{u}} = γ_{n,f}/ det(u)^{d/n}. p. 48, l. -3 : | det(u)|^{p} = Δ(u^{p}(Λ))/Δ(Λ) ≥ κ(A)/Δ(Λ) au lieu de

det(u)^{p} = Δ(u^{p}(Λ)/Δ(Λ) ≥ κ(A)/Δ(Λ)

p. 49, l. -13 : indépendants x tels que f(x) ≤ λ au lieu de indépendants de norme ≤ λ p. 54, l. -13 : est de norme au lieu de et de norme

l. -10, -9 : supprimer la phrase “Comme … minorées.” p. 57, l. 2 : d_{h}(Λ) ≤ au lieu de d_{k}(Λ) ≤

l -5 à -3 : Marc Gindraux m’a signalé que l’inégalité centrée est FAUSSE (c’est la réduction de Minkowski qui fournit une telle inégalité). Ici, on doit se contenter de e_{1}.e_{j} ≤ \frac{1}{2} N(e) pour 2 ≤ j ≤ n. Donc, Supprimer les lignes -5 à -3 à partir de “vérifiant ...”

p. 58, l. 1 : |e_{1}.e_{j}| au lieu de |e_{i}.e_{j}| l. 3 : e_{1}.e_{j} ≥ 0 au lieu de e_{i−1}.e_{i} ≥ 0, et supprimer la parenthèse l. -9 : \frac{A_{i}}{A_{m+i−1}} au lieu de \frac{A_{i}}{A_{m+i}}, i ≤ n − m + 1 au lieu de i ≤ n − m,

et l’inégalité au lieu de l’égalité

p. 59, l. 9 : après 7.8 au lieu de après 7.7

l. -7 : l’énoncé du th. 4.1 au lieu de l’énoncé de 3.1 p. 60, l. 13 : Aut(A_{r_{1},r_{2}}) au lieu de Aut(Λ)

l. -3 : Échanger [K-Z1] et [K-Z3] \underline{Chapitre III.} p. 64, l. -4 : et l’on a au lieu de et l’on

p. 66, l. -2 : ( \begin{matrix}x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & ... & x_{1}x_{n} \\ x_{2}x_{1} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{n}x_{1} & x_{n}x_{2} & ... & x_{n}^{2} \end{matrix} ) au lieu de ( \begin{matrix}x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & ... & x_{n} \\ x_{2}x_{1} & x_{2}^{2} & ... & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{n}x_{1} & x_{n}x_{2} & ... & x_{n}^{2} \end{matrix} )

p. 69, l. 7 : on a au lieu de on

l. -10 : y = ∑ ρ_{x} N(x) (x · y) = 0 au lieu de y = ∑ ρ_{x}(x · y) y = 0 p. 70, l. 21 : (Korkine et Zolotareff) au lieu de Korkine et Zolotareff) p. 76, l. -18 : norme de u_{λ}(Λ) au lieu de norme de Λ p. 78, l. 3 : groupe au lieu de goupe

l. -10 : Tr(s^{−1} ∘ u ∘ s) au lieu de Tr(s ∘ u ∘ s^{−1}) p. 79, l. 23 : |G| = λn, d’où λ = \frac{|G|}{n} au lieu de s = λn, d’où λ = \frac{s}{n} p. 82, l. -16 : ch. VIII au lieu de ch. 8

l. -13 : L_{n−n_{0}} = Λ au lieu de L_{n−n_{0}} p. 84, l. -17 : ^{t}u^{−1}(Λ^{∗}) au lieu de ^{t}u^{−1}(Λ∗)

l. -16: Λ^{∗} au lieu de Λ′^{∗}

l. -2, fin de ligne : Λ^{∗} au lieu de Λ p. 85, l. -12 : u(Λ)^{∗} = ^{t}u^{−1}(Λ^{∗}) au lieu de u(Λ)^{∗} = u^{−1}(Λ^{∗})

de S(Λ) au lieu de de ceux de Λ l. -13 : (resp. de S(Λ^{∗}), cf. lemme 4.2) au lieu de (lemme 4.2)

p. 86, l. 18 : dual-eutactique au lieu de eutactique p. 89, l. -5 : Ajouter et |S′| ≥ 4 p. 91, l. 21 : γ′_{2}^{2} = \frac{4}{3}. au lieu de γ′_{2} = \frac{4}{3}. p. 92, l. -1 : erronée au lieu de erronnée p. 93, l. -6 : résultat au lieu de résulatat

\underline{Chapitre IV}. p. 95, l. -5 : sur {±1}^{n} au lieu de sur {±1} p. 99, l. 2 : ω = \frac{−1+i+j+k}{2} au lieu de ω = \frac{1+i+j+k}{2}

l. 5 : 𝔞 = 𝔐(1 + i) = (1 + i)𝔐 au lieu de 𝔞 = A(1 + i) = (1 + i)A l. -17 : modulo 8 au lieu de modulo [4 8. l. -8 : Aut(𝔻_{8}^{+}) au lieu de Aut(𝔻_{[}4 8^{+}).

p. 100, l. -10 : i, j ≤ 6 au lieu de i, j < 6 p. 106, l. -11 : ajouter 𝔼_{8}, 𝔻_{4} ⊥ 𝔻_{4} ; p. 109. l. 12 : semblable au lieu de isométrique p. 111, l. -15 : \overline{Q}′_{2} au lieu de \overline{Q}_{2} p. 112, l. 2 : quatre ou deux fois au lieu de la moitié de p. 113, l. 5 : indivisible au lieu de non nul p. 116, l. -2, -1; p. 117, l. 1, 2 : les applications x ↦ hxk constituent un sous-groupe d’indice 2

du groupe cherché, que l’on obtient par adjonction de la conjugaison complexe. p. 117, prop. 10.12 : (y.y) au lieu de (y.y)^{2} au dénominateur de la formule. p. 118, l -7 : l’action de Aut(𝔻_{n}) au lieu de l’action de, Aut(𝔻_{n})

l. -4 : pour n = 3, 4, 5 et deux orbites pour n ≥ 6. au lieu de pour n = 3 et n = 4 et deux orbites pour n ≥ 5

p. 119, l. 1 : Montrer au lieu de Monter l. -13 : à \sqrt{2}𝔼_{7} au lieu de à 𝔼_{7} l. -3 : précisément au lieu de présisément

p. 120, l. 9 : ⟨e′_{n}, e′_{n−1}, … au lieu de ⟨′_{n}, e′_{n−1}, … p. 121, l. 1 - 3 : Supprimer mais ... qui est faux; Remplacer par : montrer que les deux

orbites de 𝔸_{3} dans 𝔻_{8} se regroupent en une seule orbite dans 𝔼_{8}.

l. 8 : distincts au lieu de diistincts p. 122, l. 5 : \frac{1}{4} Trd_{H/ℚ} au lieu de \frac{1}{2} Trd_{H/ℚ}

l. 7 : centre ℤ[\frac{1+\sqrt{5}}{2}] au lieu de centre ℚ[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]

\underline{Chapitre V}. p. 123, l. -13 : \frac{1}{r}e.e_{i} =, \frac{1}{r}e.\frac{1}{r}e = au lieu de e.e_{i} =, e.e =

l. -10 : \frac{1}{r}(nε_{0} − ε_{1} − ⋯ − ε_{n}) au lieu de \frac{1}{r}(nε_{0} − ε_{1} − … ε_{n}) l. -9 : −r(e_{n} − \frac{1}{n+1}e) au lieu de −(e_{n} − \frac{1}{n+1}e) p. 124, l. -17 : A_{n}^{∗}/A_{n} au lieu de A_{n}^{r}/A_{n}

l. -9 : ε_{1}, …, ε_{n} (ou e_{1}, …, e_{n}) au lieu de ε_{0}, …, ε_{n−1} p. 125, l. 16 : ... + y \frac{1}{r}e au lieu de ... + ye p. 126, l. 8 centrée, à la fin : −raq^{2} au lieu de raq^{2}

l. -15 : ... (2r − 1) + (r − 1)^{2} ... au lieu de ... (2r − 1) + +(r − 1)^{2} ... p. 127, l. 19 : (r\sqrt{3r}) au lieu de (r\sqrt{3r} p. 130, l. 4 : |j − i| = 1 au lieu de j − i = 1

l. 14 : 𝔸_{n}^{(n+1)/2} au lieu de Aut(𝔸_{n}^{(n+1)/2}) p. 131, l. 23 : 𝔸_{7}^{4} ∼ 𝔼_{6}^{∗} au lieu de 𝔸_{7}^{4} ≃ 𝔼_{6}^{∗} p. 132, l. 4 : P_{1} ≃ 2𝔸_{1} ≃ 2\sqrt{2}ℤ au lieu de P_{1} ≃ 2𝔸_{1} ≃ \sqrt{2}ℤ

l. -12 : 𝔻_{n} au lieu de D_{n} p. 133, l. -15 : Aut(𝔸_{n}) opère au lieu de Aut(𝔸_{n}), opère

l. -11 : Soit a tel que ε_{a} = s′(ε_{1}). au lieu de Soit a = s′(ε_{1}). p. 134, l. 17 : \frac{e}{n+1} au lieu de \frac{e}{n}

l. 22 : e = v au lieu de e = \frac{v}{n+1} l. -1 : \frac{e}{n+1} ... 𝔸_{n}^{∗} au lieu de e ... 𝔸_{n}

p. 137, l. 2 : ∑_{i=0}^{n}(y_{i} − x_{i})e_{i} = 0 au lieu de ∑_{i=0}^{n}(y_{i} − x_{i}) = 0 l. 11 : ±(n + 1) au lieu de (n + 1) l. 15 : det(Λ^{(r)}) = (n + 1)^{2r−2} det(Λ) au lieu de det(Λ^{(r)} = (n + 1)^{2r} det(Λ)

p. 138, l. 12 : une injection au lieu de un isomorphisme l. -13 : ∑_{j=0}^{j=r}(−1)^{j}\binom{r}{j} σ^{i+j} = σ^{i}(1 − σ)^{r} au lieu de ∑_{j=0}^{j=r} \binom{r}{j} σ^{i+j} = σ^{i}(1 − σ)^{r}

p. 139, l. 2 : σ^{i} au lieu de σ_{i} l. 3 : nombre au lieu de nonbre l. 5 : ∑_{s} χ(s)χ̄(s) au lieu de ∑_{s} χ(s) l. 9 : à l’idéal premier au-dessus de p de l’anneau au lieu de à l’anneau l. 10 : d’ordre p, via π : I_{G} ↪ A[G]/AT ≃ ℤ[ζ] au lieu de d’ordre p. (...) l. -17 : 𝔸_{p−1}^{(r+(p−1)/2)} au lieu de 𝔸_{p−1}^{r+(p−1)/2)} l. -12 : 𝔓^{p−2}. Pour au lieu de 𝔓^{p−2}Pour

p. 140, l. 9 : après identifié à 𝔽_{p}, ajouter , avec répétitions possibles dans les sommes précédentes l. -16 : c ∉ S, c ≠ 0, et soit T au lieu de c ∉ S, et soit T l. -13 : dont l’ordre divise un entier d’ordre donné > 1 au lieu de d’ordre donné > 1 l. -4 : Conjecture 4.10 : la conjecture est fausse ; le premier contre-exemple, trouvé par

F. Sigrist, apparaît pour p = 41, r = 9, le réseau 𝔸_{40}^{(9)} étant de norme 20 > 2r = 18, voir la fin de cet appendice (“update”) pour compléments.

p. 142, l. -18 : p = 23 et r ≥ 2 au lieu de p = 23 p. 143, l. +8 de § 5 : e′ − ae ∈ mΛ au lieu de e′ − ae ∈ Λ

l +10 du § 5 : a_{i} mod m au lieu de i mod m l. -7 : sont en fait au lieu de son en fait l. -6 : x_{j}ε_{j} au lieu de x_{j}e_{j} l. -3 : e = ∑_{1}^{t} ε_{i} au lieu de e = \frac{1}{2}(∑_{1}^{t} ε_{i}).

p. 144, l. 7 et 8 : \frac{1}{2}e + 𝔻_{n} au lieu de e + 𝔻_{n} formule centée : supprimer \frac{1}{2} (deux fois) l. -17 : du réseau. au lieu de du réseau¡.

p. 145, l. 16 : Soit k ∈ [0, t] l’entier au lieu de Soit k l’entier l. 17 : et de discriminant au lieu de discriminant l. -6 : isométrique(s) au lieu de semblable(s) (2 fois)

p. 146, l. 6 : 𝔻_{n}, 𝔼_{8} au lieu de D_{n}, 𝔼_{8} p. 148, l. -5 : ϕ_{35} au lieu de ϕ_{24} p. 149, l. -19 : permet au lieu de pemet

l. -11, 10 : s(Λ_{e}) au lieu de s(Λ)

l. -1 : \frac{det(Λ)}{N(f)} si N(f) est impair et \frac{4 det(Λ)}{N(f)} sinon, f désignant le plus …

p. 150, l.13, 14 : provenant de la déf. 7.1 au lieu de donnée par la prop. 1.2 l. -17 : |x.e| = 2 au lieu de x.e = 2 l. -9 : K_{e}Λ = Λ_{e} ∪ (\frac{e}{2} + Λ_{e}) au lieu de K_{e}Λ = Λ_{e} ∪ (e + Λ_{e}). l. -7 : K_{e}Λ au lieu de K_{e}

p. 151, l. 6 : K_{e}Λ au lieu de Λ l. 7 : Λ′ = ℝe^{⊥} ∩ Λ_{e} au lieu de Λ′ = ℝe^{⊥} ∩ Λ l. 8 : K_{e}Λ au lieu de K_{e} l. 12, 14 : Λ_{e} au lieu de Λ′_{e} l. 18 : K_{e}Λ au lieu de K_{e}(Λ) l. -14, -13 : 4 au lieu de 2 , puis 6 au lieu de 4 l. -2 : (e_{1}, e_{2}, …, e_{24}) au lieu de (e_{1}, e_{2}, …, e_{n})

p. 152, l. 8, th. 7.7 au lieu de th. 7.9 p. 153, exer. 1.2, 1 et 3 : − ⋯ − ε_{n}) au lieu de − ⋯ − ε_{n}

exer. 1.2, 4 : s(𝔸_{8}^{2}) = 71 au lieu de s(𝔸_{8}^{2}) = 61 exer. 1.5, 2 : n ≡ −1 mod 4 : \frac{n+1}{4} ; au lieu de n ≡ −1 mod 4 : \frac{n−1}{2} ;

p. 154, exer. 3.2, 2 : H = ⟨σ⟩/{± Id} au lieu de H =< σ/{± Id}

: ε_{0} − ε_{i} − ε_{\frac{n+1}{2}} + ε_{\frac{n+1}{2} +i} au lieu de ε_{0} − ε_{i} − ε\frac{m+1}{2} + ε\frac{m+1}{2} + i

exer. 4.1, 2 : Ajouter lorsque n + 1 est premier p. 155, exer. 4.4, 4 : vecteur au lieu de vecteurs

exer. 5.1, 4 : de 𝔻_{n}^{∗} au lieu de de 𝔻_{n}

\underline{Chapitre VI}. p. 158–161 (Voir le futur erratum à l’édition anglaise.) Dans une lettre électronique du 10 juin 2003, Robin Chapman (http://www.maths.ex.ac.uk/ rjc/rjc.html) me signale une imperfection dans la démonstration du théorème 1.2 telle qu’elle figure dans l’édition anglaise, liée à l’utilisation des transformations p_{i,j} qui apparaissent en fin de démonstration. p. 158, l. 18 : nombre n − r au lieu de nombre r

l. 19 : n’engendrent pas ℝ ⨂ M au lieu de n’engendrent pas M

l. -17 : semblable au lieu de isométrique

p. 159, l. 15 : B = ( \begin{matrix}A & 0 \\ ∗ & I_{n−r} \end{matrix} ) au lieu de B = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & I_{n−r} \end{matrix} )

p. 160, l. 10 : tels que au lieu de tels l. -17 : x_{2} = x_{3} = 1 au lieu de x_{1} = x_{2} = 1 l. -11 : e_{2} par e_{2} + e_{3} au lieu de e_{3} par e_{3} − e_{2} l. -9, -8 : e_{2} par e_{2} + e_{4} au lieu de e_{2} par e_{2} + e_{4} , et supprimer “(ou e_{2} par e_{4} − e_{2})”

p. 162, l. -18 : γ′_{2}^{2} = \frac{4}{3} au lieu de γ′_{2}^{2} = \frac{4}{2} p. 164, l. -3 : s ≥ s^{∗} ≥ 3 au lieu de s ≥ s^{∗} p. 165, l. 13, 14 : Pour f correspondant à (1, 1, 1, 1), on a au lieu de On a alors

l. 20 : t = −t_{2} ≥ 0 au lieu de t = −t_{2} ≤ 0 p. 166, l. 1 : dimension au lieu de dimesion p. 175, l. 19 : décroisssante au lieu de croisssante p. 176, l. -17 : Λ^{∗}/Λ au lieu de Λ/Λ^{∗} p. 177, l. 12 : Λ^{∗}/Λ au lieu de Λ/Λ^{∗} p. 181, l. P_{7}^{27} : P_{6}^{6} au lieu de P_{6}^{4} p. 182, l. -5 : similitude au lieu de isométrie p. 183, l. 17 : similitude au lieu de isométrie

l. -20 : exploration au lieu de explorations

l. -13 : 10770 au lieu de 10170

l. -4 : la conjecture 6.7 a été annoncée Čsoka dans [Cs2] comme un théorème à paraître, qui ne semble pas avoir été publié.

l. -2 : le résultat analogue est faux à partir de la dimension 9, comme on le voit en considérant les réseaux 𝔸_{n}^{2} pour pour n impair et 𝔻_{n}^{+} pour n pair.

p. 184, l. 10 : codimension ≤ k au lieu de codimension ≥ k

l. 18 : 10770 au lieu de 10170 p. 188, l. 12 : A_{i+4} ≥ \frac{1}{2} A_{i} au lieu de A_{i+1} ≥ \frac{1}{2} A_{i}

\underline{Chapitre VII}. p. 192 (Voir le futur erratum à l’édition anglaise.) Dans une lettre électronique du 11 juin 2003, Gael Collinet (collinet@ math.unice.fr) me signale une erreur dans l’énoncé de la proposition 1.4 : le cône de Voronoï est bien l’enveloppe convexe des demi droites contenant les projections, mais pas le cône des projections dès que n ≥ 3. p. 193, l. -17 : d’axe ℝ p_{D} au lieu de d’axe p_{D} p. 194, l. -9 : Lire ... l’ensemble fini des projections sur les s couples

de vecteurs minimaux ...

p. 196, l. 2 : Après de sommet 0, ajouter d’axe ℝ Id p. 197, l. -4 jusqu’à p. 198, l. 5 : supprimer.

Il faut alors remplacer 2.n par 2.(n-1) pour n=5 (p. 198), pour n=6 (p. 198 et p. 124, l. 5)

et pour n=7 (p. 198 et p. 214, l. 3 et -16). p. 198, l. 19, 20 : F au lieu de F ; préciser V = Sym_{n}(ℝ) p. 199, l.2 : A + XB = A (I_{n} + XA^{−1}B) au lieu de A + XB = A (I_{n} + A^{−1}B)

l. 5 : ... = u^{2}(x).x . au lieu de ... = u^{2}(x) . l. -12 : Ajouter à la fin , cf. exer. 5.1 l. -11 à -1 : Supprimer

p. 200, l. 22, (dém. de 3.1) : de Q et de Q_{0} au lieu de de Q et de M_{0} p. 202, l. -8 : s’arrête au lieu de s’arête p. 203, l. 14 : et e_{i} = ε_{1} − ε_{i} au lieu de e_{i} = ε_{i} − ε_{i−1}

l. 16 : D_{n} au lieu de B_{n}

l. -5 : b_{1,2} = b_{2,1} = −1 au lieu de b_{1,2} = b_{2,1} = −2 p. 204, l. 20 : p_{i,j}^{±} au lieu de p_{i,j} p. 205, l. 4 : 𝔻_{n} au lieu de 𝔻_{4} p. 206, l. 9 : semblables au lieu de isométriques p. 207, l. 13 : Plaçons-nous au lieu de Plao̧ns nous p. 208, l. 5 du th. 5.5. (3), : élément au lieu de é’ement p. 211, l. -8 : d’une au lieu de d’uns p. 214, l. 15 : Soit ϕ = min θ_{i} au lieu de Soit ϕ = min x_{i} p. 215, l. 4 : inférieure au lieu de inféreure p. 218, l. 21, col. 31 : 1 au lieu de 0

l. 24, col. 23 : 0 au lieu de 1 l. 24, col. 25 : 0 au lieu de 1 l. 24, col. 28 : 1 au lieu de 0 l. 24, col. 30 : 1 au lieu de 0

p. 221, l. 10 : [Bar4] au lieu de [Ba4]

\underline{Chapitre VIII}. p. 222, ..., § 2 : Distinguer l’emploi des lettres i, j, k comme indices et comme quaternions p. 226, l.-5, -4 : Supprimer ≃ ({± Id}^{m} ⋊ S_{4})^{m} ⋊ S_{m} p. 227, l. -22 : a_{i} au lieu de a_{1}

l. -12, -7, -6 : 𝔐^{m} au lieu de 𝔐^{n} ; l. -8 : 𝔐^{m} au lieu de 𝔐 p. 228, l. 2 : 𝔐^{m} au lieu de 𝔐^{n}

l. 19 : à gauche au lieu de à droite p. 231, l. 12 : plongé dans ℝJ_{16} au lieu de plongé dans J_{16}

l. -4 : J′_{n} au lieu de J_{n} p. 233, l, -9 : orthogonaux au lieu de othogonaux p. 234, l, -2 : 𝔐 au lieu de 𝔐^{∗} p. 235, l, -12 : Λ_{12}^{max} au lieu de (Λ_{12}^{max})^{∗} et Λ_{12}^{min} au lieu de (Λ_{12}^{min})^{∗} p. 236, Th. 4.2, (4) : Le groupe des automorphismes de L_{n} opère transitivement sur S(L_{n})

lorsque n est pair ou égal à 5, et possède deux orbites sinon.

l. -11 : n impair au lieu de m impair p. 237, l. 4 et 5. Supprimer “et démonstration du théorème 7.2” p. 237. Vu la correction à 4.2, (4), la démonstration de l’eutaxie doit être modifiée.

l. 8 : {± Id} × (C_{3}^{m} ⋊ S_{m}) au lieu de W (𝔸_{2})^{m} ⋊ S_{m}

l. -4 : 0 ≤ r ≤ \frac{n}{2} au lieu de 0 ≤ r ≤ n p. 238, l, -15 : L_{5}^{2} au lieu de L_{5}^{3} p. 239, l, 21 (rem. 4.8): Ajouter M_{7}^{4} à la liste p. 240, l. 4 : π^{−1} = (1 − ω)^{−1} au lieu de π = (1 − ω)^{−1} p. 241, l, -8 (Lemme 5.4): M_{0} au lieu de L_{0} p. 242, l, -2 Ajouter en tête de ligne : Pour i = 1, …, 6, soit e′_{i} = \frac{1}{π} e_{i} p. 245, l. 12, 13 : L_{8}^{4} au lieu de Λ_{8}^{4}

tableau 5.10, colonne de K_{10} : m = 16 au lieu de m = 18. p. 246, l. 2 (tableau 5.11) : K′_{5} au lieu de K′5 p. 247, l. 1 : Choisir α^{−1} dans C_{K} = D_{K}^{−1} et non seulement α dans D_{K}, même si, en pratique,

α est un générateur de D_{K}. l. -3 : théorème au lieu de théorême

p. 249, l. 5 : ... ≡ mλ_{1} \overline{λ}_{1} ≡ ... au lieu de ... ≡ λ_{1} \overline{λ}_{1} ≡ ... p. 252, l. -18 : Supprimer le théorème 7.2 et sa démonstration ; voir aussi p. 256.

La démosnstration munit certes 𝔼_{8} de structures de 𝔒-modules, mais ces structures n’ont rien à voir avec le produit scalaire.

p. 253, l. -5 : x ↦ x\frac{\overline{a}}{2} au lieu de x ↦ \frac{\overline{a}}{2}x p. 255, l. 22 : égalant à 0 m − 1 ... au lieu de égalant m − 1 ... p. 256, l. 1 : Supprimer “... dépende(a)nt de 𝔐.” p. 258, l. 18 : (x, y) au lieu de (x, y,) p. 260, l. 7 (Exemple 8.6) : semblable au lieu de isométrique p. 262, l. -18 (exer. 5.2) : vecteurs au lieu de veccteurs p. 264, l. 6 (exer. 7.1) : ajouter “réel” après “quadratique”

l. 9 : est une ℤ_{K} base d’un ordre maximal. au lieu de en est une ℤ_{K} base. l. 21 (exer. 7.2) : ε = \frac{1}{2}(−1 + i + j − k) au lieu de ε\frac{1}{2}(−1 + i + j − k) p. 266, l. -10, -7 : [Bac1] au lieu de [Bac]

\underline{Chapitre IX}. p. 270, l. -1 : de S′ est dans S au lieu de de S est dans S′ p. 272, l. 8 : lire “ … réunion C̃ des classes contenant une classe C, … ” p. 275, l. 12, 13 : ce n’est pas le réseau idodual le plus dense,

mais le réseau 𝔸_{3}^{∗}, atteint sur le bord en t = \frac{1}{3} l. -9, -8 : (2) ε_{1}a + ε_{2}b + ε_{3}c > −1 avec ε_{i} ∈ {±1} et ∏_{i} ε_{i} = +1.

p. 278, l. -5 : 1 au lieu de \frac{1}{2} (deux fois; |u|, |v| < 1 ; 0 < u, v < 1) p. 284, l. 3 du tableau 4.8 : b_{10}, a_{10} au lieu de a_{10}, a_{12} p. 285, l. 5 : cor. 2.6 au lieu de cor. 4.2

l. -19 : [C-S9] au lieu de [CS8] ; the lattice is named “axial centered-cuboidal”,

and “fragile lattice” in the reference to K.L. Fields in [C-S9] l. -13 : lemme 4.4 au lieu de théorème 4.4

p. 288, l. -8 : ch. X au lieu de ch. XII p. 292, l. 2 : v au lieu de p

exerc. 1.1, 2 intervalle semi-ouvert au lieu de cercle

4 faiblement eutactique au lieu de eutactique

p. 293, exerc. 1.3, 5 : Les coefficients d’eutaxie sous la forme “réseaux” sont \frac{2}{n^{2}} et \frac{2(n−2)}{n^{2}(n−1)} exerc. 2.1 : Λ_{t} = t 𝔸_{1} ⊥ 𝔸_{2} ; supprimer (cf. Ch. II, exer. 8.5) exerc. 2.1, 1 : Supprimer u assez voisin de l’identité exerc. 2.1, 3 : {e_{1}, e_{2}} au lieu de {e_{1}.e_{2}} exerc. 2.2 : semblable au lieu de proportionnel

p. 294, exerc. 4.2, 4 : Dans e_{6} = ..., supprimer +e_{6} (trois fois) p. 295, exerc. 6.1, 3 : [...à 2 paramètres, cf. ch. III, exerc. 8.3.]

exerc. 6.2 : Ajouter : ou le réseau ccc défini au chapitre XI, prop. 6.1

\underline{Chapitre X}. p. 297, l. -6 ; donnons au lieu de donrons p. 307, l. -8 : d’Hermite au lieu de de Rankin

l. -3 : de Rankin au lieu de d’Hermite p. 308, prop. 6.2 : Λ au lieu de E

p. 308, l. 13, 14 : Lire ... dans ⋀^{k}(E) l’orbite d’un réseau ⋀^{k}(Λ) sous l’action du groupe

G = {∧^{k}u | u ∈ GL(E)}.

p. 309. l.14 (Exemple 6.6) : invariant δ_{2} au lieu de invariant δ_{k}

\underline{Chapitre XI}. p. 312, l. 12 : par les réseaux isoduaux au lieu de par les G-réseaux p. 313, l. 1 : théorème de Maschke au lieu de sl théorème de Maschke,

l. -3, -2, -1 : si l’argument de moyenne du théorème 3.1 ne s’applique pas, la moyenne “usuelle” des structures euclidiennes s’applique (remarque de Louis Michel).

p. 315, l. -8 : Soit au lieu de Soir p. 317, l. -8, -7 : après de ce que, écrire les vecteurs minimaux de tout réseau G-extrême

engendrent E, cf. Prop. 3.4 ci-dessus.

p. 319, l. 16-17, Écrire : Par conséquent, modulo G-similitude, les G-réseaux sont isolés,

donc évidemment G-extrêmes.

l. 22 : réseaux irréductibles non réduits … au lieu de réseaux non réduits … p. 320, l. -12 : K′_{q} au lieu de K_{q}

l. -11 : 𝔄_{k} au lieu de I_{k} l. -10 : (x, y) ↦ au lieu de (λ, \overline{μ}) ↦

p. 322, l. 1 : Supprimer “Pour tout x ∈ E,”

l. 5 à 12 : supprimer

[Il faudrait remplacer “ℚ-irréductible” par “contient une représentation ℚ-irréductible et fidèle”.] l. -16 : a ≥ 3 au lieu de a ≥ 2 l. -15, -14 : LIRE ... en posant P_{0} = 2, P_{2} = X^{2} − 2, et P_{−1} = P_{1} = X

p. 323, l. 3 après la dém. de 4.5 : n ≤ 8 pair, au lieu de n ≤ 8, l. 14 : de Λ au lieu de de E l. -3 : 1, 11, 23 au lieu de 11, 23

p. 324, l. 14 : semblable au lieu de isomorphe p. 325, l. -7 : cyclotomique au lieu de cyclotomoque p. 326, l. 24 : 2m ≥ 10 au lieu de m ≥ 10 p. 328, l. 2 : λ^{2}N(Λ) = λ^{−2}N(Λ^{∗}) au lieu de λN(Λ) = λ^{−1}ℕ(Λ^{∗})

l. -5 : (\frac{8}{3})^{3} au lieu de (\frac{2}{3})^{3} p. 332, l. -4 : réseau σ-isodual au lieu de σ-réseau p. 333, l. 4, 6 : sp_{x}s^{−1} au lieu de sp_{s}s^{−1} p. 334, l. 1 : L’hypothèse “Supposons F_{σ} non vide” est inutile

[Le dét. d’une forme bilinéaire est défini dans une base orthonormée.] l. 17 : b_{σ} au lieu de b_{s} (deux fois)

p. 336, l. -1 : symétrique ou symplectique au lieu de symplectique ou alterné p. 337, l. 6 : signature de b_{σ} au lieu de signature de σ

l. 14 : Après isodual, ajouter T -parfait, et \underline{l. 15} : resp. au lieu de rep.

l. -13 : σ au lieu de s l. -10 : \sqrt{−3} au lieu de \sqrt{3}

p. 339, l. 14, ex. 5.1 au lieu de ex. 8.7 ;

l. -5 : lemme 3.5 au lieu de lemme 3.6 p. 343 : Les exercices 3.1, 3.2, 3.3 sont à numéroter 4.1, 4.2, 4.3

exer. 4.2 (ex 3.2) , 4 : isométriques au lieu de isomorphes exer. 4.3 (ex 3.3), 1. : ch. III au lieu de ch. II

p. 344, l. 7 : [Utliser l’exer. 5.2.] au lieu de [Utliser l’exer. 5.1.] l. 19 : I_{e_{1}} = (a) au lieu de I_{e_{1}} = a l. -8 : de la dém. du th. 8.5 au lieu de du th. 8.5 l. -7 : Ajouter − Id l. -1 : 4.2 au lieu de 3.2 [vu la nouvelle numérotation page 343]

p. 345, l. 3 : … ou t^{∗} = −\frac{1−3t}{2−t} selon … au lieu de … ou t^{∗} = −\frac{1+2t}{2−t} selon … l. -10 : M(\sqrt{4/3}) au lieu de A(\sqrt{4/3}) l. -10, -6, -1 : 6. ↦ 7., 7. ↦ 8., 8. ↦ 9. .

p. 346, l. 5, 6 : semblable(s) au lieu de isométrique(s)

l. -17 : supprimer que les réseaux

\underline{Chapitre XII}. p. 349, l. -14 : D = 3^{5} au lieu de D = d^{5} p. 350, l. 16 : th. 1.1 au lieu de prop. 1.5 p. 352, l. 4 : ≥ 2 au lieu de ≤ 2 p. 358, l. -11 : e_{1}, e_{2}, …, e_{n} au lieu de e_{1}, e_{2}, …, e_{2}

l. -5 : Λ ∼ 𝔸_{2} ⊥ \sqrt{2} ℤ^{n−2} au lieu de Λ ∼ 𝔸_{2} ⊥ \sqrt{2} ℤ p. 359, l. 2 de 5.1 : mais pas en tant que réseau … au lieu de mais n’est pas un réseau …

\underline{Chapitre XIII}. p. 361, l. 11 : X ∈ M_{n,1}(ℤ) au lieu de X ∈ M_{n}(n, 1)

l. 13 (formule centrée) : Mat(p_{x}, B^{∗}, B) = \frac{1}{x.x} X^{t}X au lieu de p_{x} = \frac{1}{x.x} X^{t}X l. 19 : , on a au lieu de . on a

p. 363, l. 18 : Q au lieu de ℚ

l. -1 : X_{1}^{t}X_{1}, …, X_{n}^{t}X_{n} au lieu de X_{1}^{t}X_{1}, X_{n}^{t}X_{n} p. 364, l. 9 : \sqrt{Id + θu}, θ > 0 au lieu de Id + θu, θ > 0 p. 366, l. -7 : de End^{s}(E) au lieu de de E p. 367, l. 18, 19 : choisie une base au lieu de choisi une une base p. 367, l. -6. Supprimer ∈ A^{−1}T A^{−1} p. 368, l. 4 : ... sont dans la même orbite sous G si et seulement s’ils ...

au lieu de ... sont G-semblables si et seulement s’ils ...

p. 369, l. 2 : terminer par “ . ” au lieu de “ , ”

l. 3 : Elles au lieu de qui

l. 8 : base orthogonale au lieu de base p. 370, l. 3 de § 4 : qu’un nombre fini de G-réseaux au lieu de qu’un seul G-réseau. p. 374, l. -19 : G-réseaux au lieu de réseaux

l. -12 : réseaux G-parfaits au lieu de réseaux parfaits p. 377, l. -12 to -9 : T -parfaite au lieu de parfaite (trois fois) p. 379, l. -10 : λ ∑_{F ∈E} p_{F} au lieu de λ ∑_{F} ∈ Ep_{F} p. 380, l. 6 : B au lieu de E

\underline{Chapitre XIV}. p. 384, l. -9 : a_{10} au lieu de a_{12}

\underline{Bibliographie}. Voir “on line”: Bibliographie mise jour du livre “Les réseaux parfaits des espaces euclidiens”,

citée “Newbib”.

p. 429, [Vc-V3] est en fait la référence [Ven] de Newbib :

[Ven] B. B. Venkov, Réseaux et “designs” sphériques (Notes de J. Martinet), in Réseaux euclidiens, designs sphériques et groupes, L’Ens. Math., Monographie 37, J. Martinet éd., Genève (2001), 10–86. ajouter : [Bari] J-L. Baril, Autour de l’algorithme de Voronoï : construction de réseaux euclidiens ; Thèse, Bordeaux, 1996. p. 430, l. -4 ; p. 431, l. 1 : N.J.A. au lieu de N.J.A p. 431, [Eb] : Ebeling au lieu de Ebelin

[He] : Gauthier-Villars au lieu de Gauthiers-Villars p. 434, l. 1 : Œuvres au lieu de Œvres

l. 12 : aussi au lieu de ausi

l. -18, référence complète : [vdW] B.L. van der Waerden, Die Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen, in Studien zur Theorie der quadratischen Formen, B.L. van der Waerden et H. Gross éd., Birkhäuser, Basel (1968), 17–44.

\underline{Index des notations}. p. 439, l. -04 : End^{s++}(E) au lieu de End^{++}(E)

.../...

Update

More on Craig’s lattices (appendix to Section 5.4)

Table 5.4.12 was calculated using the PARI system. We reproduce it below, then list the s invariants of some more Craig lattices of minimum 2r with r ≤ ⌊\frac{p+1}{4}⌋, or their norm N when it exceeds 2r.

Table 5.4.12. Lattices 𝔸_{p−1}^{(r)} with 29 ≤ p ≤ 47 and 3 ≤ r ≤ (p + 1)/4.
3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
29 6496 7917 5684 1421 580
31 8835 11625 7905 5735 930 465
37 19092 31968 29304 14430 13320 1665 888
41 29520 57605 61008 36490 31980 4920 N = 20 1066
43 36421 74046 86688 63812 25929 28896 2709 N = 22 903
47 52969 122153 154583 141611 63779 69184 4324 N = 22 N = 24 1081

Complement 1. Beyond (p+1)/4. \underline{p = 29}. r = 8 : N = 20, s = 3248. \underline{p = 37}. r = 10 : N = 24, s = 777. \underline{p = 41}. r = 11 : N = 28, s = 2460. \underline{p = 43}. r = 12 : N = 28, s = 129. \underline{p = 47}. r = 13 : N = 34, s = 4324. \underline{p = 53}. r = 14 : N = 36, s = 4134.

Complement 2. Exceptional pairs (p,r). For p ≤ 53 and r ≤ (p + 1)/4, the only exceptions to the rule N(𝔸_{p−1}^{(r)}) = 2r are the following ones, for which N(𝔸_{p−1}^{(r)}) = 2r + 2 :

p = 41, r = 9, N = 20, s = 10086 ; p = 43, r = 10, N = 22, s = 3612 ; p = 47, r = 10, N = 22, s = 12972 ; p = 47, r = 11, N = 24, s = 3243 ; p = 53, r = 11, N = 24, s = 12402 ; p = 53, r = 12, N = 26, s = 1696 .

Complement 3. Larger values of p. \underline{p = 59} : r = 3, N = 6, s = 138591 ;

r = 4, N = 8, s = 424328 ;

r = 5, N =10, s = 759684 .

\underline{p = 61} : r = 3, N = 6, s = 159820 ; r = 4, N = 8, s = 504165 ;

r = 5, N =10, s = 924516 .